Θεώρημα του Rolle – Κατηγορία 33

Να δείξετε ότι η εξίσωση 3αx 2 + 2βx = α + β , όπου α , β ∈ ! , έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 ,1) .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα ⎡⎢0 ,1⎤⎥ και παραγωγίσιμη στο (0 ,1) . ⎣ ⎦ 1 Αν ισχύει f(1) = f(0) + , να δείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) = x έχει μία, τουλάχιστον, 2 ρίζα στο διάστημα (0 ,1) .

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (2x − 3) ⋅ ηµx − (x 2 − 3x + 4) ⋅ συνx = 0 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 , π) . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ! και ισχύει f(0) = e3f(1) . Να δείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) + 3f(x) = 0 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 ,1) . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Έστω f : ! → ! * παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2x ⋅ f(x) f ′(x) = 1 − x2 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα. Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3λx 2 + 2x − (λ + 1) = 0 , λ ∈ ! * , έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 ,1) .

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x 3 − 4x + 1 = 0 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστη- μα (0 ,1) .

Να δείξετε ότι η εξίσωση 3αx 2 + 2βx − (α + β) = 0 , α , β ∈ ! , έχει μία, τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0 ,1) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 1−x Να δείξετε ότι η εξίσωση 1 + x = e 1+x έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 ,1) .

Έστω f μία συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο ! , με f(x) > 0 , για κάθε x ∈ ! , και f(2000) = e . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) = f(x) έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα f(1999) στο διάστημα (1999 , 2000) .

Να δειχθεί ότι η εξίσωση 2013x 2012 − 2012(λ + 1)x 2011 + λ = 0 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 ,1) , για κάθε λ ∈ ! .

Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα ⎡⎢1, e⎤⎥ , παραγωγίσιμη στο (1, e) , ⎣ ⎦ με f(e) − f(1) = 1 . Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x ⋅ f ′(x) = 1 έχει μία, τουλάχιστον, λύση στο διάστημα (1, e) .

Δίνονται οι α , β , γ ∈ ! . Να δειχθεί ότι η εξίσωση α ⋅ συνx + β ⋅ συν2x + γ ⋅ συν3x = 0 έχει μία τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 , π) .

α β γ Αν + + + δ = 0 , να δείξετε ότι η συνάρτηση 4 3 2 f(x) = αx 3 + βx 2 + γx + δ μηδενίζεται για ένα, τουλάχιστον, σημείο του διαστήματος (0 ,1) .

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x 3 + 2λx − λ − 1 = 0 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 ,1) , για κάθε λ ∈ ! .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α ⋅ ℓn3x + β ⋅ ℓn2x + γ ⋅ ℓnx + δ = 0 , α , β , γ , δ ∈ " , ώστε 3(2α + γ + δ) + 4β = 0 , έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα 1, e2 . ( )

Έστω συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ! , με f(x) > 0 , για κάθε x ∈ ! , και f(20) = e ⋅ f(19) . Να δείξετε ότι η εξίσωση f ′(x) = f(x) έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (19 , 20) .

Αν ισχύει αν α ν−1 α1 + + ... + + α 0 = 0 , όπου α ν , α ν−1 ,... , α1 , α 0 ∈ ! , α ν ≠ 0 , ν ∈ " * , ν+1 ν 2 να δείξετε ότι η εξίσωση α ν x ν + α ν−1x ν−1 + ... + α1x + α 0 = 0 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 ,1) .