Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης – Κατηγορία 51

Να δείξετε ότι η εξίσωση 2x + ℓnx = 1 έχει ακριβώς μία ρίζα.

Να δείξετε ότι η εξίσωση xe x − 2 = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (0 , + ∞) .

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ⎡⎢1, e⎤⎥ → (0 ,1) , με f ′(x) > 0 , για κάθε x ∈ (1, e) . ⎣ ⎦ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x(1 − ℓnx) έχει ακριβώς μία ρίζα στο (1, e) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = x 3 + 2x − 1 − ηµ2x , x ∈ ! , είναι γνησίως αύξουσα. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 3 + 2x − 1 = ηµ2x έχει μία μόνο ρίζα στο (0 ,1) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ! , για την οποία ισχύει f 3 (x) + β ⋅ f 2 (x) + γ ⋅ f(x) = x 3 − 2x 2 + 6x − 1 , για κάθε x ∈ ! , και β2 < 3γ . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (0 ,1) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ⎡⎢1, 3⎤⎥ . Αν f(1) = −3 και f ′(x) > 4 , για κάθε ⎣ ⎦ x ∈ (1, 3) , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (1, 3) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 12x 4 − 14x 3 − 3x 2 − 4 = 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διά- στημα (0 , + ∞) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο ! , με f ′(x) > e x + 2 , για κάθε x ∈ ! , και f(0) = 1 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = α έχει ακριβώς μία ρίζα, για κάθε α ∈ ! .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο ! , με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύ- ουν οι σχέσεις f(x) = −f(2 − x) , f ′(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα. γ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) g(x) = , στο σημείο που η C g τέμνει τον άξονα x΄x, σχηματίζει με αυτόν f ′(x) γωνία 45°.

Να δείξετε ότι: α. e x − x + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! . β. η εξίσωση 2e x + 2x = x 2 + 2 έχει ακριβώς μία ρίζα.

α. Αν ισχύουν f ′(x) > 0 , g ′(x) < 0 , για κάθε x ∈ ! , να δείξετε ότι οι C f , C g έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο. β. Αν f(x) = e x + 2x , g(x) = e−x − x 3 , να δείξετε ότι οι C f , C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.

1 Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = , g(x) = ℓnx x έχουν ένα μόνο κοινό σημείο M(x 0 , y 0 ) , με x 0 ∈ (1, e) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , με f ′(x) + 8x 2 + 4x + 1 = g ′(x) + e4x , για κάθε x ∈ ! . Αν οι C f , C g τέμνονται πάνω στον άξονα y΄y, να δείξετε ότι αυτές: α. έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο. β. έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο.