ΕΥΘΕΙΕΣ-25 επαναληπτικές ασκήσεις (εξώφ)

Δίνονται οι εξισώσεις (λ + 1)x − y + 1 − λ = 0 (1) και x 2 − y2 + 6x + 9 = 0 (2) , λ ∈ ! . α. Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο Α, το οποίο να προσδιορίσετε. β. Να δείξετε ότι η (2) παριστάνει δύο ευθείες, κάθετες μεταξύ τους. γ. Αν Β είναι το σημείο τομής των δύο ευθειών του ερωτήματος (β), να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. δ. Αν η ευθεία (1) διέρχεται από το σημείο Γ(2 ,1) , να βρείτε το λ. ε. Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα (δ) να γράψετε την ευθεία (1) και να βρείτε την απόσταση του σημείου Β από αυτήν.

Ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ ανήκει στην ευθεία 3x − 7y + 27 = 0 και η πλευρά ΑΔ στην ευθεία 4x + y + 5 = 0 . Αν οι διαγώνιοί του ΑΓ, ΒΔ τέμνονται στο ⎛ 5⎞ σημείο Κ ⎜⎜⎜2 , ⎟⎟⎟ : ⎝ 2 ⎟⎠ α) να δείξετε ότι είναι Γ(6 , 2) . β) να βρείτε την εξίσωση της ΒΓ. γ) να βρείτε την εξίσωση της ΒΔ.

Δίνονται οι ευθείες ε1 : 3x + 4y + 6 = 0 , ε2 : 3x + 4y + 16 = 0 . α. Να δείξετε ότι είναι παράλληλες μεταξύ τους. β. Να βρείτε την μεταξύ τους απόσταση. γ. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας. δ. Αν ένα τετράγωνο έχει δύο παράλληλες πλευρές του πάνω στις (ε1 ) , (ε2 ) , να βρείτε το εμβαδόν του.

Να δείξετε ότι υπάρχει μόνο μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(7 ,− 2) και η απόστασή της από το Β(4 ,− 6) είναι ίση με 5 μονάδες. Ποια είναι η εξίσωσή της;

Δίνεται η ευθεία ε : x + y − 4 + µ(2x − y + 6) = 0 , µ ∈ ! . Να βρεθεί η τιμή του μ, ώστε η (ε): α) να περνά από την αρχή των αξόνων. β) να περνά από το σημείο Α(1, 2) . γ) να είναι κάθετη στην ευθεία δ : x − 3y + 8 = 0 .

Να δείξετε ότι η ευθεία ε : x + y − 4 + µ(2x − y + 6) = 0 , µ ∈ ! , διέρχεται από σταθερό σημείο, το οποίο να βρείτε.

Δίνεται η εξίσωση (x + y + 1)λ2 − (3x + 4y)λ + 2x − 5y − 9 = 0 , λ ∈ ! . α. Να δείξετε ότι παριστάνει ευθεία, για κάθε τιμή του λ. β. Να βρείτε το λ, ώστε αυτή να είναι παράλληλη στον άξονα y΄y. γ. Να βρείτε το λ, ώστε αυτή να είναι κάθετη στην η : x − y + 11 = 0 . π δ. Να βρείτε το λ, ώστε αυτή να σχηματίζει γωνία με τον άξονα x΄x. 4

Δίνεται η εξίσωση (x + y)λ2 − (3x + 4y + 1)λ + 2x + 3y + 1 = 0 , λ ∈ ! . α. Να δείξετε ότι παριστάνει ευθεία, για κάθε λ ≠ 1 . β. Για ποια τιμή του λ αυτή είναι παράλληλη στον άξονα x΄x; γ. Να βρείτε το λ, ώστε αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. δ. Να δείξετε ότι οι ευθείες που παριστάνονται από την εξίσωση της εκφώνησης διέρχονται από σταθερό σημείο.

Να βρείτε την αμβλεία γωνία, που σχηματίζουν μεταξύ τους οι ευθείες ε : x − 5y + 7 = 0 , ζ : 2x + 3y − 5 = 0 .

Δίνεται η εξίσωση (2λ + 1)x + (λ + 1)y − 7λ − 5 = 0 , λ ∈ ! . α. Να δείξετε ότι παριστάνει ευθεία, για κάθε λ ∈ ! . β. Να βρείτε το λ, ώστε η ευθεία αυτή να διέρχεται από το Ο(0 , 0) . γ. Να βρείτε το λ, ώστε αυτή να σχηματίζει γωνία 60ο με τον άξονα x΄x. δ. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες της εξίσωσης της εκφώνησης διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Δίνονται τα σημεία Α(3 , 2) , Β(1, 4) , Γ(2 ,− 3) . Να βρείτε τα σημεία Μ, για τα οποία ισχύει (ΜΑΒ) = (ΜΑΓ) .

Να βρείτε ευθεία που να είναι παράλληλη στην ε : x − y + 3 = 0 και να σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 2 τ.μ.

Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε οι ευθείες ε1 : αx − 2y − 1 = 0 , ε2 : 6x − 4y − β = 0 : α) να τέμνονται. β) να είναι παράλληλες μεταξύ τους. γ) να ταυτίζονται.

Να βρείτε την ευθεία που συντρέχει με τις ε1 : x − y + 1 = 0 , ε2 : 2x − 3y + 5 = 0 και 7 απέχει από το σημείο Α(3 , 2) απόσταση . 5

Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(0 ,1) και απέ- χουν από το σημείο Β(2 , 2) απόσταση ίση με μία μονάδα μήκους.

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M(x , y) , όταν x = 3t − 2 και y = t − 2 , t ∈ [0 , 2) .

Δίνεται η εξίσωση x 2 + 2αxy − y2 = 0 . Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή της παραμέτρου α, η εξίσωση αντιπροσωπεύει δύο ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων.

Δίνεται η εξίσωση λ(λ − 3)x + (λ2 − 9)y + λ − 1 = 0 , λ ∈ ! . Για ποιες τιμές του λ: α. παριστάνει ευθεία; β. παριστάνει ευθεία, που είναι παράλληλη στον άξονα y΄y; γ. παριστάνει ευθεία, που είναι παράλληλη στον άξονα x΄x; δ. παριστάνει ευθεία, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων;

Σε ορθοκανονικό σύστημα Oxy θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, με Α(2 ,1) . Έστω ότι οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο από τα ύψη του, έχουν εξισώσεις ε1 : 3x + y − 11 = 0 , ε2 : x − y + 3 = 0 . Να βρείτε: α) τις εξισώσεις των ΑΒ, ΑΓ. β) τις συντεταγμένες των Β, Γ. γ) την εξίσωση της ΒΓ. δ) το (ΑΒΓ). ε) το ορθόκεντρο του ΑΒΓ.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Β(−1,1) . Η διχοτόμος ΑΔ και η διάμεσος ΓΜ έχουν, αντίστοι- χα, εξισώσεις 2x − y + 1 = 0 , 2x − 5y + 10 = 0 . ⎛3 1⎞ α. Να δείξετε ότι το συμμετρικό του Β ως προς την ΑΔ είναι το Β′ ⎜⎜⎜ , ⎟⎟⎟ , το οποίο ⎝ 5 5 ⎟⎠ είναι σημείο της ΑΓ. β. Να βρείτε τις συντεταγμένες του Α και να δείξετε ότι Μ(0 , 2) . γ. Να βρείτε την εξίσωση της ΑΓ και τις συντεταγμένες του Γ.

Δίνονται οι ευθείες ε1 : (λ + 1)x + (λ − 4)y − 4 = 0 , ε2 : λx + (5 − λ)y − 7 = 0 , οι οποίες είναι κάθετες μεταξύ τους. α. Να βρείτε τον αριθμό λ. β. Θεωρούμε την εξίσωση (µ2 − 3µ + 2)x + (µ2 − 11)y − 2µ2 + 2µ = 0 (1) Ι. Να βρείτε για ποιες τιμές του µ ∈ ! η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία. ΙΙ. Να βρείτε τον αριθμό μ, ώστε η ευθεία της εξίσωσης (1) να διέρχεται από το σημείο τομής των (ε1 ) , (ε2 ) .

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α(−1, 2) . Η εξίσωση της πλευράς ΒΓ είναι x − 2y + 1 = 0 και του ύψους ΒΔ είναι x + 2y + 3 = 0 . Να βρείτε: α) την κορυφή Β. β) την εξίσωση της πλευράς ΑΓ. γ) το μήκος του ύψους ΑΚ.

Έστω (ε1 ) η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Ρ(−1, 3) και τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, ώστε το Ρ να είναι το μέσο του ΑΒ. α. Να δείξετε ότι ε1 : y = 3x + 6 . β. Θεωρούμε τα σημεία Γ(−5,1) και Δ(2α − 7 , 5 − 4α) , α ∈ ! , με το Δ να ανήκει στην (ε1 ) . Ι. Να δείξετε ότι είναι α = 2 και να βρείτε το (ΡΓΔ) . ΙΙ. Για α = 2 , να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου (ε2 ) του ΓΔ.

Δίνονται τα σημεία Α(α , 2 − α) , Β(α + 6 , α + 9) , Γ(5,− 3) . Αν η ευθεία ΑΒ έχει κλίση 1 , να βρείτε: 2 α. τον αριθμό α. β. τα σημεία τομής της ευθείας ΑΒ με τους άξονες. γ. την εξίσωση της ευθείας ΑΓ και την γωνία που αυτή σχηματίζει με τον x΄x. δ. την εξίσωση της ευθείας (ε), που είναι κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Β. ε. το σημείο τομής της ευθείας (ε) με την ευθεία ΑΓ.