Ε9-Π1-εξώφυλλο

Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f(x) = ηµx − συνx , x ∈ ⎡⎢0 , 2π⎤⎥ . ⎣ ⎦ Πρόκειται για παράδειγμα του σχολικού βιβλίου, που εδώ θα παρουσιάσω πιο αναλυ- τικά.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! , της οποίας η γρα- φική παράσταση τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο 3. Να βρείτε το όριο ℓ im ⎡⎢ f(−2) ⋅ x 3 + 5x 2 − 3x + 1⎤⎥ . x→−∞ ⎣ ⎦ Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά κατεύθυνσης, 2016-2017.

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : ! → ! , οι οποίες ικανοποιούν την σχέση ⎡ f(x) − 2ηµx ⎤ ⋅ ⎡ f(x) + 2ηµx ⎤ = 4συν2x , για κάθε x ∈ ! . ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ Πηγή: Χαρ. Στεργίου, Χρ. Νάκης, Ιωάν. Στεργίου, «Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου», τόμος Γ1, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Η λύση και τα σχόλια προέρχονται από το ίδιο βιβλίο και να τα προσέξεις πάρα πολύ!

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις με την ιδιότητα ⎡ f(x) − ηµ2x ⎤ ⋅ ⎡ f(x) + ηµ2x ⎤ = συν4 x + 1 ηµ2 2x , για κάθε x ∈ ! . ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 Πηγή: Χαρ. Στεργίου, Χρ. Νάκης, Ιωάν. Στεργίου, «Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου», τόμος Γ1, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Η λύση προέρχεται από αυτό το βιβλίο.

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : ! → ! με την ιδιότητα f 2 (x) = 2e x f(x) , για κάθε x ∈ ! . Πηγή: Χαρ. Στεργίου, Χρ. Νάκης, Ιωάν. Στεργίου, «Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου», τόμος Γ1, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Η λύση και το σχόλιο προέρχονται από το ίδιο βιβλίο και να τα προσέξεις πάρα πολύ!

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , με f 2 (x) = 2e x f(x) , για κάθε x ∈ ! . α. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) − e x διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ! . β. Εάν g(0) = 1 , να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f.

Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢2 , + ∞) → ! η οποία, για κάθε x ≥ 2 , ικανοποιεί ⎣ την σχέση x − 2 ⋅ f(x) = x + 2 − 3x − 2 .

Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! η οποία, για κάθε x ∈ ! , ικανοποιεί την σχέση (x + ηµx) ⋅ f(x) = x − ηµx .

Έστω η συνεχής συνάρτηση f, για την οποία ισχύει (x − 1) ⋅ f(x) = αx 2 + βx − 2 , για κάθε x ∈ ! , ενώ το σημείο A(1, 3) ανήκει στην γραφική της παράσταση. α. Να βρείτε τα α , β ∈ ! . β. Να δείξετε ότι f(x) = x + 2 , x ∈ ! . ⎡ 1 ⎤⎥ γ. Να βρείτε το ℓ im ⎢ f 2 (x) ⋅ ηµ . x→ +∞ ⎢ f(x) ⎥⎦ ⎣

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί την σχέση f 3 (x) − 3x 2f(x) + x 6 + 1 = 0 , για κάθε x ∈ ! . α. Να αποδειχθεί ότι f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . β. Να βρεθεί το f(0). γ. Να δειχθεί ότι f(x) < 0 , για κάθε x ∈ ! .

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢0 , π⎤⎥ και ισχύει συν3x + f 2 (x) = 1 , για κάθε ⎣ ⎦ x ∈ ⎡⎢0 , π⎤⎥ , να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (0 , π) . ⎣ ⎦

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , με f(2) = 1 και 1, 4 είναι διαδοχικές ρίζες της x→−∞ ⎣ { εξίσωσης f(x) = 0 . Να βρείτε το ℓ im ⎡⎢1 + f(3)⎤⎥ ⋅ x 3 − 2x + 3 . ⎦ }

Έστω συνάρτηση f : ! → ! . Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (−∞ , 2⎤⎥ , γνησίως φθίνουσα ⎦ στο ⎢2 , + ∞) και, επιπλέον, είναι ℓ im f(x) = ℓ im f(x) = −∞ , ενώ είναι και f(2) = 0 . ⎡ ⎣ x→−∞ x→ +∞ α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 .

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : ! → ! * , για την οποία ισχύει f 2 (x) − 6f(x) + 5 = x 4 + 4x 2 , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε: ηµx α. την τιμή f(1). β. τον τύπο της f. γ. το όριο ℓ im . x→ +∞ f(x)

Έστω η συνεχής στο ⎡⎢−1,1⎤⎥ συνάρτηση f, ώστε x 2 − x + f 3 (x) = −5 . Να δείξετε ότι η f ⎣ ⎦ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (−1,1) .

Αν για την συνάρτηση f : ! → ! ισχύει f(1) + 2f(2) + 3f(3) = 0 και f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! , να δείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής.

Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο ! . Για κάθε x ∈ ! ισχύει η ισότητα f 2 (x) − 3f(x) + 2 = 0 . Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.

Να βρεθεί ο τύπος της συνεχούς συνάρτησης f, αν ισχύει x ⋅ f(x) + 5x 2 + 2 = ηµx + (x − 1)(x − 2) , για κάθε x ∈ ! .

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . Να υπολογίσετε το f(1) ⋅ x 5 + f(5) ⋅ x 2 − 2x + 5 όριο ℓ im . x→−∞ f(3) ⋅ x 2 − 5x + 3

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει f 2 (x) − 4f(x) ⋅ ηµx = x 2 + 4συν2x , για κάθε x ∈ ! . Επιπλέον, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο με τεταγμένη 2. Να βρείτε: f(x) − 2συνx α. τον τύπο της f. β. το όριο ℓ im . x→ 0 x

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢−3 , 3⎤⎥ → ! , για την οποία ισχύει x 2 + f 2 (x) = 9 , για ⎣ ⎦ κάθε x ∈ ⎡⎢−3 , 3⎤⎥ . ⎣ ⎦ α. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 . β. Αν, επιπλέον, η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο M(0 , 3) , να βρείτε τον τύπο της f.

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢−α , α ⎤⎥ και ισχύει β2x 2 + α 2f 2 (x) = α 2β2 , με β ≠ 0 , για ⎣ ⎦ κάθε x ∈ ⎡⎢−α , α ⎤⎥ . Να δείξετε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο (−α , α) . ⎣ ⎦

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : ! → ! , για τις οποίες ισχύει f 2 (x) + 2x = x 2 + 1 , για κάθε x ∈ ! .

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : ! → ! , για τις οποίες, για κάθε x ∈ ! , x2 ισχύει e x f 2 (x) − = 2f(x) , και f(0) = 0 . ex