Ακρότατα συνάρτησης (ειδικά θέματα) – Κατηγορία 58

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f, με f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! , για την οποία ισχύουν f(0) = 1 , 2f ′(x) + 3x f 2 (x) = 0 , για κάθε x ∈ ! . α) Να βρείτε τον τύπο της. β) Να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατά της.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε 2f 3 (x) + 6f(x) = 2x 3 + x + 1 , για κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα: α) με χρήση της μονοτονίας της. β) με το θεώρημα του Fermat.

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε 2012 ⎡2f ′(x) − f(x) ⋅ f ′(x)⎤ = 2x 2 + x + 1 , για κάθε x ∈ ! . ⎣⎢ ⎦⎥ Να αποδείξετε ότι δεν έχει ακρότατα.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε f 3 (x) + β ⋅ f 2 (x) + γ ⋅ f(x) = x 3 − 2x 2 + 6x − 1 , για κάθε x ∈ ! , όπου β , γ ∈ ! . Να δείξετε ότι δεν έχει ακρότατα.

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει f 3 (x) + f(x) = e x + e−x , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της.

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 3x 4 + 4αx 3 + 6α 2x 2 + 12αx + 8 , α ∈ ! * , έχει το πολύ ένα τοπικό ακρότατο.

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = x 3 + αx 2 + βx + γ έχει δύο τοπικά ακρότατα, αν και μόνο αν α 2 > 3β .

2 − 3x Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2 . Αν x1 , x 2 είναι τα σημεία στα οποία η f πα- x − 3x + 2 ρουσιάζει τοπικό ακρότατο, να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε η ευθεία ε : y = αx + β να δι- έρχεται από τα σημεία Α (x1 , f(x1 )) , B (x 2 , f(x 2 )) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ⎛ 15 ⎞⎟ Δίνονται τα σημεία Ο(0 , 0) , Α ⎜⎜⎜ , 0⎟⎟ . Να βρείτε σημείο Μ στην γραφική παράσταση ⎝ 4 ⎟⎠ 1 της συνάρτησης f(x) = , x > 0 , ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων x του Μ από τα σημεία Ο και Α να είναι ελάχιστο.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 4 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , x > 0 , και το σημείο Μ (α , f(α)) της C f . Από το Μ x φέρνουμε παράλληλη στον άξονα x΄x, που τέμνει την ευθεία x + y = 0 στο σημείο Ν. Να βρείτε τον α ∈ ! * , ώστε το μήκος του τμήματος ΜΝ να είναι ελάχιστο.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ( Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn α + e2x − x , α > 0 .) α. Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της f. β. Αν x 0 είναι θέση τοπικού ακροτάτου της f, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (x 0 , f(x 0 )) όταν το α διατρέχει το (0 , + ∞) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Για ποια τιμή του α ∈ ! η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f(x) = x 2 − 4αx − α 4 + 12α 2 είναι η μέγιστη δυνατή;

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Για ποια τιμή του α > 0 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f(x) = (x + 2)e−αx είναι η ελά- χιστη δυνατή;

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Οι κορυφές ενός τριγώνου είναι τα σημεία π ( ) Α (0 , 0) , Β (x , συνx) , Γ ηµ3x , 0 , όπου 0 < x < 2 . α. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του x. β. Να βρείτε την τιμή του x για την οποία το εμβαδόν γίνεται μέγιστο. γ. Να υπολογίσετε την μέγιστη τιμή του εμβαδού του τριγώνου.

Δίνεται η ευθεία y = −2x + 4 και το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων xΟy. α. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία αυτή τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y. β. Αν M(x , y) είναι ένα σημείο της παραπάνω ευθείας και φέρουμε από το Μ τις ΜΑ και ΜΒ κάθετες στους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα, να βρείτε το σημείο Μ, ώστε το ΟΑΜΒ να έχει μέγιστο εμβαδόν.

Πανελλήνιες Εξετάσεις 2018, θέµα Γ Έχουμε ένα σύρμα μήκους 8 m, το οποίο κόβουμε σε δύο τμήματα. Με το ένα από αυτά, μήκους x m, κατασκευάζουμε τετράγωνο και με το άλλο κύκλο. α. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων, σε τετραγωνικά μέτρα και συναρτήσει του x, είναι (π + 4)x 2 − 64x + 256 E(x) = , x ∈ (0 , 8) . 16π β. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται, όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με την διάμετρο του κύκλου. γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας μόνο τρόπος με τον οποίο μπορεί να κοπεί το σύρμα μήκους 8 m, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων να ισούται με 5 m2.