Α ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ-2ο θέμα (Δεκ.2020)

Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών 1, 3, 5, 7, ... α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατο- στό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ν πρώτων περιττών θετικών αριθμών είναι ίσο με το τετράγωνο του πλήθους τους. (Μονάδες 10)

x 2 − 5x + 6 Δίνεται η συνάρτηση f, με f(x) = . x −3 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 7) β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x΄x και y΄y. (Μονάδες 9)

( ) Δίνεται η εξίσωση x 2 − λx + λ2 + λ − 1 = 0 (1) , με παράμετρο λ ∈ ! . α) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση (1) να έχει ρίζες πραγματικές. (Μονάδες 12) β) Να λύσετε την ανίσωση S 2 − P − 2 ≥ 0 , όπου S και Ρ είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (1). (Μονάδες 13) -2 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 2ο θέµα

Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε σειρά έχει κ καθί- σματα περισσότερα από την προηγούμενη. Η 7η σειρά έχει 36 καθίσματα και το πλή- θος των καθισμάτων του σταδίου είναι 300. α) Αποτελούν τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε τον συλλογισμό σας. (Μονάδες 12) β) Πόσα καθίσματα έχει κάθε σειρά; (Μονάδες 13)

Δίνεται η εξίσωση x 2 − 2λx + 4 (λ − 1) = 0 , με παράμετρο λ ∈ ! . α) Να βρείτε την διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές, για κάθε λ ∈ ! . (Μονάδες 8) γ) Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει x1 + x 2 = x1 ⋅ x 2 . (Μονάδες 9)

α) Να λύσετε την εξίσωση 2x − 1 = 3 . (Μονάδες 12) β) Αν α, β, με α < β , είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση α ⋅ x 2 + β ⋅ x + 3 = 0 . (Μονάδες 13) -3 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 2ο θέµα

α) Να λύσετε τις ανισώσεις 2x − 5 ≤ 3 και 2x 2 − x − 1 ≥ 0 . (Μονάδες 16) β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). (Μονάδες 9)

Δίνεται η εξίσωση λ ⋅ x = x + λ2 − 1 , με παράμετρο λ ∈ ! . α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ − 1) x = (λ − 1)(λ + 1) , λ ∈ ! . (Μονάδες 8) β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την οποία και να βρείτε. (Μονάδες 8) γ) Για ποια τιμή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγ- ματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)

Αν 0 < α < 1 , τότε: α) να αποδείξετε ότι α 3 < α . (Μονάδες 13) β) να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς 1 0 , α3 , 1 , α , . α (Μονάδες 12) -4 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 2ο θέµα

α) Να αποδείξετε ότι, για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y, ισχύει (x − 1) + (y + 3) = x + y − 2x + 6y + 10 . 2 2 2 2 (Μονάδες 12) β) Να βρείτε τους αριθμούς x, y, ώστε x 2 + y2 − 2x + 6y + 10 = 0 . (Μονάδες 13)

2x 2 − 5x + 3 Δίνεται η συνάρτηση f, με f(x) = . x2 − 1 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της, Α. (Μονάδες 5) β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2x 2 − 5x + 3 . (Μονάδες 10) 2x − 3 γ) Να αποδείξετε ότι, για κάθε x ∈ Α , ισχύει f(x) = . x +1 (Μονάδες 10)

α) Να λύσετε την ανίσωση x − 5 < 2 . (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση 2 − 3x > 5 . (Μονάδες 8) γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δύο προηγούμενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών. Με την βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε με διάστημα ή ένωση διαστημάτων. (Μονάδες 9) -5 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 2ο θέµα

Δίνεται το τριώνυμο 2x 2 − 3x + 1 . α) Να βρείτε τις ρίζες του. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τις τιμές του x ∈ ! , για τις οποίες 2x 2 − 3x + 1 < 0 . (Μονάδες 5) 3 1 γ) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί και είναι λύσεις της ανίσωσης 2 2 2x 2 − 3x + 1 < 0 . (Μονάδες 10)

x 1 Δίνονται οι ανισώσεις 3x − 1 < x + 9 και 2 − ≤x+ . 2 2 α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 15) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων. (Μονάδες 10)

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 + 2x − 15 , x ∈ ! . α) Να υπολογίσετε το άθροισμα f(−1) + f(0) + f(1) . (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. (Μονάδες 15) -6 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 2ο θέµα

α) Να λύσετε την εξίσωση x − 2 = 3 . (Μονάδες 10) β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του (α) ερωτήματος. (Μονάδες 15)

Σε γεωμετρική πρόοδο (α ν ) , με θετικό λόγο λ, ισχύει α 3 = 1 και α 5 = 4 . α) Να βρείτε τον λόγο λ της προόδου και τον πρώτο όρο της. (Μονάδες 13) β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι α ν = 2ν−3 . (Μονάδες 12)

x +1 x +1 +4 2 α) Να λύσετε την εξίσωση − = . 3 5 3 (Μονάδες 9) β) Να λύσετε την ανίσωση −x 2 + 2x + 3 ≤ 0 . (Μονάδες 9) γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος. (Μονάδες 7) -7 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 2ο θέµα

1 α) Να λύσετε την ανίσωση x − <4. 2 (Μονάδες 9) β) Να λύσετε την ανίσωση x + 5 ≥ 3 . (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β), με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, και να τις γράψετε με την μορφή διαστήμα- τος. (Μονάδες 7)

1 α) Αν α < 0 , να αποδειχθεί ότι α + ≤ −2 . α (Μονάδες 15) 1 β) Αν α < 0 , να αποδειχθεί ότι α + ≥2. α (Μονάδες 10)

α) Να λύσετε την εξίσωση 2x − 4 = 3 x − 1 . (Μονάδες 9) β) Να λύσετε την ανίσωση 3x − 5 > 1 . (Μονάδες 9) γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) -8 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 2ο θέµα

Αν 2 ≤ x ≤ 3 και 1 ≤ y ≤ 2 , να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων βρίσκεται η τιμή καθεμιάς από τις παρακάτω παραστάσεις: α) x + y . (Μονάδες 5) β) 2x − 3y . (Μονάδες 10) x γ) . y (Μονάδες 10)

( ) Δίνεται η εξίσωση λ2 − 9 x = λ2 − 3λ , με παράμετρο λ ∈ ! (1) α) Επιλέγοντας τρεις διαφορετικές πραγματικές τιμές για το λ, να γράψετε τρεις εξισώσεις. (Μονάδες 6) β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ ∈ ! , ώστε η (1) να έχει μία και μοναδική λύση. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την τιμή του λ ∈ ! , ώστε η μοναδική λύση της (1) να ισούται με 4. (Μονάδες 10)

α) Να βρείτε το άθροισμα των ν πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων 1, 2, 3, ..., ν. (Μονάδες 12) β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους πρέπει να χρησιμοποιήσουμε, για να πάρουμε άθροισμα τον αριθμό 45. (Μονάδες 13) -9 - Μαθηµατικό στέκι • www.mathsteki.gr • Έκδοση 1η - Δεκέµβριος 2020 Τράπεζα Θεµάτων Α΄ Λυκείου • ΑΛΓΕΒΡΑ • 2ο θέµα