Συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής – Κατηγορία 44

Η συνάρτηση f : (0 , π) → ! είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f ′(x) = σϕx ⋅ f(x) , για κάθε f(x) x ∈ (0 , π) . Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = , x ∈ (0, π) , είναι σταθερή. ηµx Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f ′(x) = 2x f(x) , για κάθε x ∈ ! . 2 α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) ⋅ e−x είναι σταθερή. β. Αν f(−2) = 3 , να βρείτε τον τύπο της f. Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0 , + ∞) , με f(x) = x f ′(x) + 2 , για κάθε x > 0 . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ′ είναι σταθερή στο (0 , + ∞) .

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , όπου η f είναι παραγωγίσιμη με f ′(x) = −2x f 2 (x) 1 και f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! , f(0) = 1 , ενώ είναι g(x) = 2 − x 2 , για κάθε x ∈ ! . f (x) α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή. 1 β. Να αποδείξετε ότι f(x) = . 1 + x2 γ. Να υπολογίσετε το όριο ℓim ⎡⎢ x ⋅ f(x) ⋅ ηµ2x ⎤⎥ . x→ +∞ ⎣ ⎦

Έστω ότι οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, με f ′(x) + g ′(x) ⋅ f(x) = 0 , για κάθε x ∈ ! . Δείξτε ότι η συνάρτηση h(x) = f(x) ⋅ e g(x) είναι σταθερή.

Έστω συνάρτηση f : ! * → ! . Αν η f έχει παραγώγους μέχρι τρίτης τάξης και ικανο- ποιεί την σχέση 2f(x) = x ⋅ ⎡⎢1 + f ′(x)⎤⎥ , για κάθε x ∈ ! * , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ⎣ ⎦ f ′′ είναι σταθερή.

Η συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f(x) = x 2f ′(x) , για κάθε 1 x ∈ (0 , + ∞) . Αν g(x) = e x f(x) , να δείξετε ότι η g είναι σταθερή.