ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-Π2

Λύση σχολικού βιβλίου – Α1/157 από «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πάρα πολύ απλή άσκηση Β΄ Γυμνασίου.

Λύση σχολικού βιβλίου – Α2/157 από «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι 2 < x < 5 ⇔ x ∈ (2 , 5) και 1 < y < 6 ⇔ y ∈ (1, 6) .

Λύση σχολικού βιβλίου – Α3/157 από «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Είναι το σημείο Α1 (−1,− 3) . ii. Είναι το σημείο Α2 (1, 3) . iii. Είναι το σημείο Α3 (3 ,− 1) . iv. Είναι το σημείο Α4 (1,− 3) .

Λύση σχολικού βιβλίου – Α4/157 από «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Είναι (ΟΑ) = x 2A + y2A = 42 + (−2)2 = 16 + 4 = 20 = 2 5 . ii. Είναι 2 (x − x ) + ( y − y ) = ⎡3 − (−1)⎤ + (4 − 1) = 16 + 9 = 25 = 5 . 2 2 2 (ΑΒ) = B A B A ⎣⎢ ⎦⎥ iii. Είναι 2 2 (x − x ) + ( y − y ) = 2 2 (ΑΒ) = ⎡1 − (−3)⎤ + ⎡−1 − (−1)⎤ = 42 = 4 . B A B A ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ - 30 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 6 • Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Δεύτερος τρόπος Παρατηρώ ότι y A = y B = −1 , δηλαδή τα Α, Β είναι πάνω σε ευθεία παράλληλη στον άξονα x΄x, συνεπώς (ΑΒ) = x B − x A = 1 − (−3) = 4 = 4 . iv. Είναι 2 (x − x ) + (y − y ) = (1 − 1) + ⎡⎢⎣4 − (−1)⎤⎥⎦ = 5 = 5 . 2 2 2 2 (ΑΒ) = B A B A Δεύτερος τρόπος Παρατηρώ ότι x A = x B = 1 , δηλαδή τα Α, Β είναι πάνω σε ευθεία παράλληλη στον άξονα y΄y, συνεπώς (ΑΒ) = y B − y A = 4 − (−1) = 5 = 5 .

Λύση σχολικού βιβλίου – Α5/158 από «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Στην άσκηση αυτή θα δεις μια από τις κλασικές περιπτώσεις στις οποίες χρησιμοποι- ούμε τον τύπο της απόστασης σημείων. i. Υπενθυμίζω μια πολύ γνωστή πρόταση από την Γεωμετρία: Για να αποδείξω ότι τρία σημεία είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου, δηλαδή ότι τα τρία σημεία σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο, αρκεί να δείξω ότι τα μήκη δύο πλευρών είναι ίσα μεταξύ τους. Αυτός είναι ένας κλασικός τρόπος (πρώτη σκέψη) για να αποδείξω ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές. Είναι: (x − x ) + (y − y ) = (4 − 1) + (−2 − 2) = 9 + 16 = 25 = 5 . 2 2 2 2 • (ΑΒ) = B A B A (x − x ) + (y − y ) = (−3 − 1) + (5 − 2) = 16 + 9 = 25 = 5 . 2 2 2 2 • (ΑΓ) = Γ A Γ A Αφού είναι (ΑΒ) = (ΑΓ) , το τρίγωνο είναι ισοσκελές (με κορυφή το Α). - 31 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 6 • Βασικές έννοιες των συναρτήσεων ii. Υπενθύμιση από την Β΄ Γυμνασίου: Για να αποδείξω ότι τρία σημεία είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου, δηλαδή ότι ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο, αρκεί να δείξω ότι ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, δηλαδή ότι το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του τριγώνου. Είναι: 2 (x − x ) + (y − y ) = (−1 − 1) + ⎡⎢⎣1 − (−1)⎤⎥⎦ = 4 + 4 = 8 , 2 2 2 • (ΑΒ) = B A B A 2 οπότε (ΑΒ)2 = 8 = 8 . 2 (x − x ) + (y − y ) = (4 − 1) + ⎡⎣⎢2 − (−1)⎤⎦⎥ = 9 + 9 = 18 , 2 2 2 • (ΑΓ) = Γ A Γ A 2 οπότε (ΑΓ)2 = 18 = 18 . 2 (x − x ) + ( y − y ) = ⎡4 − (−1)⎤ + (2 − 1) = 25 + 1 = 26 , 2 2 2 • (ΒΓ) = Γ Β Γ Β ⎢⎣ ⎥⎦ 2 οπότε (ΒΓ)2 = 26 = 26 . Ισχύει 26 = 8 + 18 ⇔ (ΒΓ)2 = (ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 , δηλαδή ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (με την γωνία Α ορθή). - 32 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ο

Λύση σχολικού βιβλίου – Α6/158 από «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ο σχεδιασμός είναι πάρα πολύ απλός και παραλείπεται. Από την Γεωμετρία υπενθυμίζω ότι, ένας τρόπος για να δείξω ότι ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, είναι να δείξω ότι έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Είναι: (x − x ) + (y − y ) = (5 − 2) + (1 − 5) = 9 + 16 = 25 = 5 . 2 2 2 2 • (ΑΒ) = B A B A (x − x ) + (y − y ) = (2 − 5) + (−3 − 1) = 9 + 16 = 25 = 5 . 2 2 2 2 • (ΒΓ) = Γ Β Γ Β 2 (x − x ) + (y − y ) = (−1 − 2) + ⎡⎣⎢1 − (−3)⎤⎦⎥ = 9 + 16 = 25 = 5 . 2 2 2 • (ΓΔ) = Δ Γ Δ Γ 2 (x − x ) + ( y − y ) = ⎡2 − (−1)⎤ + (5 − 1) = 9 + 16 = 25 = 5 . 2 2 2 • (ΔΑ) = Α Δ Α Δ ⎢⎣ ⎥⎦ Αφού το ΑΒΓΔ έχει όλες τις πλευρές του ίσες, είναι ρόμβος.

Λύση σχολικού βιβλίου – Α7/158 από «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Για να ανήκει το Μ(2 , 6) στην C f , θα πρέπει να ισχύει f(2) = 6 , δηλαδή 22 + k = 6 ⇔ 4 + k = 6 ⇔ k = 2 . ii. Για να ανήκει το Μ(−2 , 8) στην C g , θα πρέπει να ισχύει g(−2) = 8 , δηλαδή k ⋅ (−2) = 8 ⇔ k ⋅ (−8) = 8 ⇔ k = −1 . 3 iii. Για να ανήκει το Μ(3 , 8) στην C h , θα πρέπει να ισχύει h(3) = 8 , δηλαδή k 3 + 1 = 8 ⇔ k ⋅ 4 = 8 ⇔ k ⋅2 = 8 ⇔ k = 4 . - 33 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 6 • Βασικές έννοιες των συναρτήσεων

Λύση σχολικού βιβλίου – Α8/158 από «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πολύ χαρακτηριστική άσκηση, γι’ αυτό πρόσεξέ την! i. Πεδίο ορισμού της f είναι το Α = ! . Κοινά σημεία με τον x΄x Από την εξίσωση f(x) = 0 προκύπτει x −4 = 0 ⇔ x = 4 , οπότε το σημείο Β(4 , 0) είναι κοινό σημείο της C f με τον x΄x. Σημείο τομής με τον y΄y Είναι f(0) = 0 − 4 = −4 , οπότε η C f τέμνει τον y΄y στο σημείο Γ(0 ,− 4) . ii. Πεδίο ορισμού της g είναι το Α = ! . Κοινά σημεία με τον x΄x Από την εξίσωση g(x) = 0 προκύπτει (x − 2)(x − 3) = 0 ⇔ x − 2 = 0 ή x − 3 = 0 ⇔ x = 2 ή x = 3 , οπότε τα σημεία Β(2 , 0) και Γ(3 , 0) είναι κοινά σημεία της C g με τον x΄x. Σημείο τομής με τον y΄y Είναι g(0) = (0 − 2)(0 − 3) = −2 ⋅ (−3) = 6 , οπότε η C g τέμνει τον y΄y στο σημείο Δ(0 , 6) . - 34 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 6 • Βασικές έννοιες των συναρτήσεων iii. Πεδίο ορισμού της h είναι το Α = ! . Κοινά σημεία με τον x΄x Από την εξίσωση h(x) = 0 προκύπτει (x − 1) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 (διπλή ρίζα), 2 οπότε το σημείο Β(1, 0) είναι κοινό σημείο της C h με τον x΄x. Σημείο τομής με τον y΄y Είναι h(0) = (0 − 1) = (−1) = 1 , 2 2 οπότε η C h τέμνει τον y΄y στο σημείο Γ(0 ,1) . iv. Πεδίο ορισμού της q είναι το Α = ! . Κοινά σημεία με τον x΄x Από την εξίσωση q(x) = 0 προκύπτει x2 + x + 1 = 0 , η οποία είναι αδύνατη όμως, αφού η διακρίνουσά της είναι 12 − 4 ⋅1 ⋅1 = 1 − 4 = −3 . Άρα, η C q δεν έχει κοινά σημεία με τον x΄x. Σημείο τομής με τον y΄y Είναι q(0) = 02 + 0 + 1 = 1 , οπότε η C q τέμνει τον y΄y στο σημείο Β(0 ,1) . - 35 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 6 • Βασικές έννοιες των συναρτήσεων v. Πρέπει να είναι x −1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 , οπότε πεδίο ορισμού της φ είναι το Α = ⎡⎢1, + ∞) . ⎣ Κοινά σημεία με τον x΄x Από την εξίσωση ϕ(x) = 0 προκύ

Λύση σχολικού βιβλίου – Α9/158 από «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Πεδίο ορισμού της f είναι το Α = ! . Κοινά σημεία με τον x΄x Από την εξίσωση f(x) = 0 προκύπτει x 2 − 1 = 0 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ± 1 ⇔ x = 1 ή x = −1 , οπότε τα σημεία Β(1, 0) και Γ(−1, 0) είναι κοινά σημεία της C f με τον x΄x. Σημείο τομής με τον y΄y Είναι f(0) = 02 − 1 = −1 , οπότε η C f τέμνει τον y΄y στο σημείο Δ(0 ,− 1) . ii. Από την ανίσωση f(x) > 0 προκύπτει x −∞ −1 1 +∞ x 2 − 1 > 0 ⇔ x ∈ (−∞ ,− 1) ∪ (1, + ∞) , x2 − 1 + - + με την βοήθεια του διπλανού πίνακα προσή- μου του τριωνύμου. Άρα, η C f είναι πάνω από τον x΄x στο διάστημα (−∞ ,− 1) και στο διάστημα (1, + ∞) . - 37 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 6 • Βασικές έννοιες των συναρτήσεων

Λύση σχολικού βιβλίου – Α10/158 από «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Πεδίο ορισμού της f και της g είναι το ! . Από την εξίσωση f(x) = g(x) προκύπτει x 2 − 5x + 4 = 2x − 6 ⇔ x 2 − 7x + 10 = 0 . Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι (−7)2 − 4 ⋅1 ⋅10 = 49 − 40 = 9 , οπότε η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες, τις 7± 9 7±3 x1, 2 = = ⇔ x1 = 5 , x 2 = 2 . 2 ⋅1 2 • Για x = 5 είναι g(5) = 2 ⋅ 5 − 6 = 10 − 6 = 4 , οπότε ένα κοινό σημείο των C f , C g είναι το Α(5, 4) . • Για x = 2 είναι g(2) = 2 ⋅ 2 − 6 = 4 − 6 = −2 , οπότε δεύτερο κοινό σημείο των C f , C g είναι το Β(2 ,− 2) . ii. Από την ανίσωση f(x) < g(x) προκύπτει x 2 − 5x + 4 < 2x − 6 ⇔ x 2 − 7x + 10 < 0 ⇔ x ∈ (2 , 5) , με την βοήθεια του διπλανού πίνακα x −∞ 2 5 +∞ προσήμου του τριωνύμου. x 2 − 7x + 10 + - + Άρα, η C f είναι κάτω από την C g στο διάστημα (2 , 5) . - 38 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr