ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-30 επαναληπτικές ασκήσεις

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 − x + α , όπου α ∈ ! και f(−3) = 6 . α) Να βρείτε την τιμή του α. β) Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της f;

Δίνεται η συνάρτηση f, με f(x) = x 2 + 1 . f(x) − f(2) α) Να βρείτε την συνάρτηση g, με g(x) = . x −2 β) Να υπολογίσετε τις τιμές g(0) , g(1) .

Αν f(x) = 2x − 1 , x ∈ ! , να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) f (x + 3) . ( ) β) f 1 − x 2 . γ) f (2x + f(0)) . δ) f (x + f(x)) .

⎧⎪ ⎪ x 2 − 4 , αν x < 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎪⎨ 2 . ⎪⎪ x − 3x − 4 , αν x ≥ 1 ⎩⎪ α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να βρείτε τις τιμές f(0) , f(1) , f(−2) , f(3) . γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 .

Έστω η συνάρτηση ⎧⎪ ⎪⎪ x2 − 2 α ⋅ + β2 , αν x < 1 f(x) = ⎪⎨ 2 . ⎪⎪ 2 2 ⎪⎪ 2 α ⋅ x − 2β ⋅ x − 2 , αν x ≥ 1 ⎩ α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Αν ισχύει ότι f(−2) = f(0) και f(1) = −2 , να υπολογιστούν τα α, β.

Έστω η συνάρτηση f, με f(x) = −x 2 + 42x . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. 2 2 β) Να λύσετε την εξίσωση ⎡⎢ x − f(1)⎤⎥ + ⎡⎢ x + f(1)⎤⎥ = 2004 . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−x 2 + 3x + 18 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . x −3 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f. β) Να δείξετε ότι f(0) = − 2 και f(5) = 2 . 1 1 γ) Να δείξετε ότι + = −2 . 1 + f(0) 1 + f(5)

⎧⎪ ⎪⎪ (α + 1) ⋅ x , αν x ≥ 1 5 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎨ , όπου α ∈ ! . ⎪⎪ −29x − 3 , αν x ≤ 1 ⎪⎩ α) Να βρείτε την τιμή του α. ( ) β) Να λύσετε την εξίσωση x 2 x 2 − 2 = f(0) + 2 .

⎧⎪ 2x − 5 , αν x ≤ 3 ⎪ Δίνεται η συνάρτηση f, με f(x) = ⎨ 2 . ⎪⎪ x , αν 3 < x < 10 ⎩⎪ α) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f σε μορφή διαστήματος. β) Να υπολογίσετε τις τιμές f(−1) , f(3) , f(5) και να λύσετε την εξίσωση f(x) = 25 .

Για τους πραγματικούς αριθμούς α , β ∈ ! ισχύει ότι 1 − 3α < 2 και ότι η απόσταση του β από τον αριθμό 2 είναι μικρότερη του 1. Να αποδείξετε ότι: 1 α) ισχύει − < α <1. 3 β) ισχύει β − 3α − 1 < 3 . γ) η συνάρτηση f(x) = 4x 2 − 4 (β − 2) x + β2 έχει πεδίο ορισμού το ! .

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(1, 2) , Β(0 ,1) , Γ(2 ,1) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (3µ − 1) x + 2 , με µ < 0 . Να βρεθεί το μ, ώστε η C f να τέμνει τους άξονες σε σημεία που απέχουν απόσταση ίση με 5 .

x2 − 5 x + 6 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . x −3 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f και να δείξετε ότι, για κάθε x ∈ Α , ισχύει f(x) = x − 2 . 2 β) Για x ∈ Α , να λύσετε την εξίσωση ⎡⎢ f(x) + 2⎤⎥ − 4f(x) − 5 = 0 . ⎣ ⎦

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x 2 και g(x) = λx + (1 − λ) , x ∈ ! και λ παράμετρος, με λ ≠ 0 . α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C f και C g έχουν, για κάθε λ, ένα τουλά- χιστον κοινό σημείο. β) Για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι C f και C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι αυτό; γ) Αν λ ≠ 2 και x1 , x 2 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των C f και C g , να βρεθεί η παράμετρος λ, ώστε να ισχύει (x1 + x 2 ) = x1 + x 2 + 2 . 2

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = αx − α + 2 και g(x) = x 2 − α + 3 , με α ∈ ! . α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (1, 2) , για κάθε τιμή του α. β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη 1, τότε να βρείτε την τιμή του α και να ελέγξετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν και άλλο κοινό σημείο. γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν δύο σημεία τομής.

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x 2 − 4x + α και g(x) = αx − 5 , με α ∈ ! . Αν ισχύει ότι f(2) = g(2) , τότε: α) να αποδείξετε ότι α = 1 και να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x) . β) να λύσετε την ανίσωση f(x) ≥ g(x) και την εξίσωση f(x) − g(x) = f(x) − g(x) .

α Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 − x + . 4 α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της f να είναι το ! . ⎛ 1⎞ β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α ⎜⎜⎜0 , ⎟⎟⎟ , ⎝ 2 ⎟⎠ τότε να αποδείξετε ότι α = 1 και να λύσετε την εξίσωση 2 f(x) = 1 .

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(x) = x 2 + 1 και g(x) = x + α , με x ∈ ! και α ∈ ! . α) Για α = 1 , να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. β) Βρείτε για ποιες τιμές του α οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε δύο σημεία. γ) Για α > 1 , να εξετάσετε αν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παρα- στάσεων των συναρτήσεων f και g είναι ομόσημες ή ετερόσημες.

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = (x − 1) − 4 και g(x) = x − 1 + 2 , με x ∈ ! . 2 α) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x. β) Να δείξετε ότι, για κάθε x ∈ ! , η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x. γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g.

x 2 − 5x + 6 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . 2−x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι ⎧⎪ x − 3 , αν x > 2 ⎪ f(x) = ⎨ . ⎪⎪ −x + 3 , αν x < 2 ⎩⎪ β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες. γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) ≤ 0 .

λ −2 3(2 − λ) Δίνεται η ευθεία ε : y = ⋅x + . λ λ Να προσδιοριστεί ο λ, ώστε η (ε) : α) να είναι παράλληλη στην ευθεία y = −2 . β) να είναι παράλληλη στην ευθεία x + y = 5 . γ) να διέρχεται από το σημείο (3 ,− 1) .

λ+4 Για την ευθεία ε : y = ⋅ x + 5 , να βρείτε: λ −1 α) τις τιμές του λ, ώστε η ευθεία (ε) να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ : y = 6x + 1 . β) τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Α(2 ,− 3) να ανήκει στην γραφική παράσταση της ευθείας (ε). γ) τις τιμές του λ, ώστε η ευθεία (ε) να είναι παράλληλη προς τον άξονα x΄x. δ) τα σημεία τομής της (ε) με τους άξονες.

Έστω η συνάρτηση f(x) = λx + 2 , λ < 0 . Να βρείτε: α) τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τους άξονες. β) το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την γραφική παράσταση και τους άξονες. γ) την τιμή του λ, ώστε το εμβαδόν του παραπάνω τριγώνου να είναι 2 τ.μ.

Έστω τα σημεία Α(κ , 2) και Β(1, 2κ) , όπου κ ∈ ! . α) Να αποδείξετε ότι (ΑΒ) = 5 κ − 1 . β) Αν (ΑΒ) ≤ 5 , να βρείτε τις τιμές του κ. γ) Αν κ = 0 , να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y = −2x + 2 διέρχεται από τα Α και Β.