ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-Παράγραφος 2-Κ2 (Α)

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) = x 2000 + αx1999 + ... + αx 2 + αx + α διά x − 1 είναι 2001, να υπολογίσετε το α.

Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) = λ2x 2 + (2λ2 − 3λ + 1)x − 3(2λ + 1) με το x + 2 , είναι ανεξάρτητο του λ.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Για το πολυώνυμο P(x) ισχύει P(0) = P(1) = 4 . Δείξτε ότι Ρ(x) = x(x − 1) ⋅ π(x) + 4 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) διά του x + 2 είναι 5 και το υπό- λοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x − 1 είναι 2, να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) διά του (x + 2)(x − 1) .

Δίνονται τα πολυώνυμα Φ(x) = x 3 − 2λx + 1 , Ρ(x) = λx 2 + 3(λ − 1)x + 3 . Βρείτε το λ ∈ ! , ώστε οι διαιρέσεις Ρ(x) : (2x − 1) και Φ(x) : (x + 1) να δίνουν το ίδιο υπόλοιπο.

Να βρείτε τα α , β ∈ ! , αν το πολυώνυμο Ρ(x) = 2x 3 + αx 2 − 13x + β διαιρείται με το x2 − x − 6 .

Αν το πολυώνυμο f(x) = x 3 + αx 2 + βx + 4 διαιρείται ακριβώς με το x − 2 και επιπλέ- ον είναι f(1) = 8 , να προσδιοριστούν τα α , β ∈ ! .

Να βρεθούν τα α , β ∈ ! , αν το πολυώνυμο Ρ(x) = αx 4 + βx 3 − 18x 2 + 15x − 5 , διαιρούμενο με το g(x) = x 2 − 3x + 2 , δίνει υπόλοιπο υ(x) = 4x + 7 .

Έστω Ρ(x) = 3x 3 + αx 2 + βx + 6 . Να βρείτε τα α , β ∈ ! , αν το −2 είναι ρίζα του P(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) διά x − 1 ισούται με −9 .

Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ, ώστε το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 − κx 2 + (λ − 1)x + 5 να έχει παράγοντα το (x − 1)(x + 2) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων Ρ(x) : (x − 1) και Ρ(x) : (x + 1) είναι 3 και 1 αντίστοι- χα, να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : (x − 1)(x + 1) .

Αν το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x − 5 , να δείξετε ότι το P(2x − 3) έχει παράγοντα το x − 4 .

Να βρείτε τα α , β ∈ ! , αν το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 − x 2 − (3 + α)x + β + 10 έχει παράγοντα το (x − 2)2 .

Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = 2x 2 − 3λx + 5 , Φ(x) = 3x 3 + (λ − 1)x + 3 , λ ∈ ! . Αν υ1 , υ2 είναι τα υπόλοιπα των διαιρέσεων Ρ(x) : (x − 2) και Φ(x) : (x + 1) αντίστοιχα, να βρεθεί ο λ, ώστε: α) υ1 = υ2 . β) υ1 = 2υ2 − 1 . γ) υ1 + υ2 = 0 .

Αν ρ είναι ρίζα του P(2x − 1) , να αποδείξετε ότι ο ρ − 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου P(2x + 1) .

Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με x − 3 δίνει πηλίκο π1 (x) και διαιρούμενο με x − 4 δίνει πηλίκο π2 (x) . Να αποδείξετε ότι π1 (4) = π2 (3) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε το πολυώνυμο P(x) το οποίο, όταν διαιρεθεί με το x 2 + 1 , δίνει πηλίκο 3x − 1 και υπόλοιπο 2x + 5 .

Αν η διαίρεση (x 3 + αx + β) : (x − ρ)2 είναι τέλεια, να αποδείξετε ότι οι πραγματικοί αριθμοί α, β ικανοποιούν την σχέση 3 2 ⎛ α ⎞⎟ ⎛ β ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟ = 0 . ⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν το πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το 2x − 3 , να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(2x + 3) έχει παράγοντα το 4x + 3 .

Αν οι διαιρέσεις του πολυωνύμου P(x) με τα πολυώνυμα x − α και x − β , με α ≠ β , δίνουν το ίδιο υπόλοιπο υ, να αποδείξετε ότι και η διαίρεση Ρ(x) : ⎡⎢(x − α)(x − β)⎤⎥ ⎣ ⎦ δίνει υπόλοιπο υ.

Το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 − (α + 2)x 2 + 2(α + 2)x − β , α , β ∈ ! , έχει ρίζα το 2. α) Να αποδείξετε ότι β = 8 . β) Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε το πολυώνυμο να έχει τρεις άνισες πραγματικές ρίζες. γ) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες του πολυωνύμου x1 , 2 , x 2 , αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας γεωμετρικής προόδου.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Το πολυώνυμο Ρ(x) = x 4 + αx + β , α , β ∈ ! , έχει παράγοντα το (x − 1)2 . α) Να αποδείξετε ότι α + β + 1 = 0 . β) Να βρείτε τα α, β. γ) Να αποδείξετε ότι P(x) ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! .

Για ένα πολυώνυμο P(x) τρίτου βαθμού, ισχύουν 1 P(0) = και Ρ(x) − Ρ(x − 1) = x 2 , για κάθε x ∈ ! . 6 α) Να βρείτε το πολυώνυμο. 5 β) Να εξετάσετε αν η εξίσωση P(x) + = 0 έχει ακέραιες ρίζες. Αν έχει, να βρεθούν. 6

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! α) Να αποδείξετε ότι 1 − συν4θ = 8ηµ2θ ⋅ συν2θ . β) Δίνεται ένα πολυώνυμο P(x) το οποίο, διαιρούμενο με το x − ηµ2θ δίνει υπόλοιπο ⎛ π⎞ συν2θ , ενώ διαιρούμενο με το x − συν2θ , δίνει υπόλοιπο ηµ2θ , όπου θ ∈ ⎜⎜⎜0 , ⎟⎟⎟ ⎝ 4 ⎟⎠ γνωστό τόξο. Ι. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο Q(x), όπου Q(x) = 8x 2 − 8x + 1 − συν4θ . ΙΙ. Αν το πηλίκο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) με το Q(x) του προηγούμε- νου ερωτήματος είναι π(x) και ισχύει π(1) = 2Ρ(1) ≠ 0 , τότε να υπολογίσετε το τόξο θ.