Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο – Κατηγορία 6

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει f 3 (x) + x ⋅ f 2 (x) = 2x 3 , για κάθε x ∈ ! , να δείξετε ότι είναι f ′(0) = 1 .

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , παραγωγίσιμη στο 1, για την οποία ισχύει f 3 (x) + 2f(x) = x 2 − 3x + 2 , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε την τιμή f ′(1) .

Αν για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει f 2 (x) + g 2 (x) = x 6 + 2x 3 + 1 (1) , με f, g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο x 0 = −1 , να δείξετε ότι: 2 2 α) f(−1) = g(−1) = 0 . β) ⎡⎢ f ′(−1)⎤⎥ + ⎡⎢ g ′(−1)⎤⎥ = 9 . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 , με 2f 3 (x) − 2ηµx ⋅ f 2 (x) + x 2f(x) = 2x 3 − x ⋅ ηµ2x . Να αποδείξετε ότι f ′(0) = 1 .

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , παραγωγίσιμη στο 0, για την οποία ισχύει f 3 (x) + 8x ⋅ ηµx ⋅ f(x) = x ⋅ ηµ2 3x , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε το f(0) και το f ′(0) .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 = 1 και ισχύει x 2f 3 (x) + 2f(x) = x 3 − 1 , για κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 1 .

Έστω f , g : ! → ! συναρτήσεις τέτοιες, ώστε f 2 (x) + g 2 (x) = x 4 , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι f ′(0) = g ′(0) = 0 .

Η συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! είναι συνεχής στο σημείο x 0 ∈ (0 , + ∞) και ισχύει 2x 0f(x) = x ⋅ f(x) + x ⋅ f(x 0 ) , για κάθε x > 0 . 2f(x 0 ) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 , με παράγωγο f ′(x 0 ) = . x0