Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο – Κατηγορία 1

Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στο 2 η συνάρτηση ⎧⎪ ⎪⎪ 3x 2 + 4 , αν x < 2 f(x) = ⎪⎨ 3 . ⎪⎪ x 2 + 4 , αν x ≥ 2 ⎪⎪ 8 ⎩

Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στο 0 η συνάρτηση ⎧⎪ 2ηµx , αν x ≤ 0 ⎪ f(x) = ⎨ 2 . ⎪⎪ x + 2x , αν x > 0 ⎩⎪

Να δείξετε ότι η συνάρτηση ⎧⎪ ⎪⎪ x 2ηµ 1 , αν x ≠ 0 f(x) = ⎪⎨ x ⎪⎪ ⎪⎩⎪ 0 , αν x = 0 είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Δίνεται η συνάρτηση ⎧⎪ ⎪⎪ x 2ηµ 2 , αν x ≠ 0 f(x) = ⎪⎨ x . ⎪⎪ ⎪⎩⎪ 0 , αν x = 0 Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Δίνεται η συνάρτηση ⎧⎪ ⎪⎪ g(x) ⋅ ηµ 1 , αν x ≠ 0 f(x) = ⎪⎨ x ⎪⎪ ⎪⎩⎪ 0 , αν x = 0 και g ′(0) = g(0) = 0 . Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 .

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 , να δείξετε ότι και η συνάρτηση ⎧⎪ f(x) , αν x ≤ x 0 ⎪ g(x) = ⎪⎨ ⎪⎪ f ′(x ) ⋅ (x − x ) + f(x ) , αν x > x ⎪⎩ 0 0 0 0 είναι παραγωγίσιμη στο x 0 .

Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 , τότε: f(x 0 + h) − f(x 0 ) f(x 0 − h) − f(x 0 ) α) ℓ im = f ′(x 0 ) . β) ℓ im = −f ′(x 0 ) . h→ 0 h h→ 0 h f(x 0 + h) − f(x 0 − h) γ) ℓ im = 2f ′(x 0 ) . h→ 0 h

Δίνεται η συνάρτηση ⎧⎪ 2 ⎪ x + x + 1 , αν x < 0 f(x) = ⎪⎨ 3 . ⎪⎪ x + x + 1 , αν x ≥ 0 ⎩⎪ Να αποδείξετε ότι: α) η f είναι συνεχής στο x 0 = 0 . β) η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 .

Εξετάστε αν η συνάρτηση ⎧⎪ συνx − 1 ⎪⎪ , αν x < 0 ⎪⎪ x 2 f(x) = ⎨ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ ηµx + e x , αν x ≥ 0 ⎪⎩ 2 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0.

Αν για την συνάρτηση f ισχύουν f(0) = 3 , f ′(0) = 2 , να βρείτε την g ′(0) , όταν x g(x) = f(x) − . f(x)

Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο α > 0 . Να υπολογίσετε τα όρια: f(x) − f(α) f 2 (x) − f 2 (α) α) ℓ im . β) ℓ im . x→ α x→ α x− α x− α

Έστω συνάρτηση g : ! → ! , συνεχής στο x 0 = 1 . Ορίζουμε την συνάρτηση f από την ισότητα f(x) = ηµ(x − 1) ⋅ g(x) . Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο x 0 = 1 .

Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο ! , με f(1) = 2 , f ′(1) = −1 . Να υπολογίσετε το όριο f 2 (x) − 4 ℓ im . x→1 x2 − 1

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = α , να δείξετε ότι: x ⋅ f(α) − α ⋅ f(x) α. ℓ im = f(α) − α ⋅ f ′(α) . x→ α x −α x 2f(α) − α 2f(x) β. ℓ im = 2α ⋅ f(α) − α 2f ′(α) . x→ α x −α

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 7 , με f ′(7) = 8 . Να υπολογίσετε το όριο f(5x + 2) − f(7) ℓ im . x→1 x −1

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει f ′(x 0 ) = f(x 0 ) , με x 0 ∈ ! , και f 3 (x) − f 3 (x 0 ) ℓ im = 81 . Να βρείτε το f ′(x 0 ) . x→ x0 x − x0

Αν οι συναρτήσεις f , g : ! → ! είναι παραγωγίσιμες στο x 0 = 0 και είναι ⎧⎪ ⎪⎪ f 2 (x) − 2 , αν x ≤ 0 g(x) = ⎨ 3 , ⎪⎪ f (x) + 2f 2 (x) − 4 , αν x > 0 ⎩⎪ να βρεθούν οι αριθμοί f(0) , f ′(0) .

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 ∈ ! και α ∈ ! * , να υπολογιστεί το όριο f(x 0 − αh) − f(x 0 ) ℓ im . h→ 0 h