Παραγωγίσιμες συναρτήσεις Κανόνες παραγώγισης – Κατηγορία 10

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ! , να αποδείξετε ότι: α. αν η f είναι άρτια συνάρτηση, τότε η f ′ είναι περιττή. β. αν η f είναι περιττή συνάρτηση, τότε η f ′ είναι άρτια. γ. αν η f είναι περιοδική συνάρτηση, με περίοδο T > 0 , τότε και η f ′ είναι περιοδική, με περίοδο Τ.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = συν2x , x ∈ ! . α. Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f. β. Να αποδείξετε ότι f ′′(x) + 4f(x) = 2 .

( ) , για κάθε x ∈ ! . 2 Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με τύπο f(x) = x + 1 + x 2 2 α. Να αποδείξετε ότι f ′(x) = ⋅ f(x) , για κάθε x ∈ ! . 1 + x2 β. Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο της f συναρτήσει της f. γ. Να αποδείξετε ότι (1 + x 2 ) ⋅ f ′′(x) + x ⋅ f ′(x) = 4f(x) , για κάθε x ∈ ! .

Έστω η συνάρτηση f(x) = x ⋅ ηµx , x ≥ 0 . α. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο διάστημα (0 , + ∞) . β. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο διάστημα ⎡⎢0 , + ∞) . ⎣ γ. Ορίστε την συνάρτηση f ′ και εξετάστε αν είναι συνεχής στο ⎡⎢0 , + ∞) . ⎣

Να βρείτε πολυώνυμο τρίτου βαθμού, ώστε f(0) = 4 , f ′(−1) = 2 , f ′′(2) = 4 , f (3) (1) = 6 .

⎛π⎞ ⎛π⎞ π Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο ! , με g ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 3 , g ′ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = e 2 και ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ (f ! g)(x) = e x (ηµx + συνx) , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι f ′(3) = 0 .

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f(x + x 3 ) = x 4 + 8x + 2 , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε το f ′(2) .

2 Αν f, g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο ! , με g(1) = 2 και f(4x − 1) = e g (x)−4 , για κάθε x ∈ ! , να δείξετε ότι f ′(3) = g ′(1) .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2e3x . Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια: f ′′(x) 6f ′(x) − f ′′(x) α) ℓ im . β) ℓ im . x→ +∞ f ′(x) x→ 0 f(x)

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω f : ! → ! παραγωγίσιμη συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχε- ται από το σημείο A(1, 2) . Θεωρούμε, επίσης, τις συναρτήσεις g(x) = f 3 (x) − f(x 2 ) και ( ) h(x) = ℓn f 2 (x) + f(x) + 2 . Αν ισχύει g ′(1) = 40 , να βρείτε το h′(1) .

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει f(ηµx) + f(συνx) = ηµx + συνx + 1 , για κάθε x ∈ ! . Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(1,1) , να βρείτε: α. το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y΄y. β. το f ′(0) . f(x) − x + 1 γ. το όριο ℓ im . x→ 0 ηµx

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε μη σταθερό πολυώνυμο P(x), για το οποίο ισχύουν 2 P′′(2016) + P(1) = 2 και ⎡⎢P′(x)⎤⎥ = 4P(x) , για κάθε x ∈ ! . ⎣ ⎦

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε μη μηδενικό πολυώνυμο P(x), για το οποίο ισχύει 2 P(x) = (x + 1) ⋅ ⎡⎢P′′(x)⎤⎥ , για κάθε x ∈ ! . ⎣ ⎦

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f : ! → ! είναι παραγωγίσιμη και ισχύει 2f(x 2 ) + f(x 3 ) = 3 , για κάθε x 3f(x) − 1 x ∈ ! . Να υπολογιστεί το όριο ℓ im . x→1 x −1

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω f : ! → ! παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε f(e2x ) + 3f(x 3 + 1) = 2(x 2 + 5x + 4) , για κάθε x ∈ ! . f 2 (x) − 4 Να υπολογίσετε το όριο ℓ im . x→1 x 2 − 3x + 2