Ε8-Π1-2+Κ26-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 152 από «Ε8-Π1-2+Κ26-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η συνάρτηση f(x) = x 2 − 2x + 4 είναι συνεχής στο Df = ! , ως πολυωνυμική.

Λυμένο παράδειγμα 153 από «Ε8-Π1-2+Κ26-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x2 + 1 Η συνάρτηση f(x) = είναι συνεχής στο Df = ! − {2} , ως ρητή. x −2

Λυμένο παράδειγμα 154 από «Ε8-Π1-2+Κ26-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η συνάρτηση f(x) = e x + 3x είναι συνεχής στο Df = ! , ως άθροισμα συνεχών συναρτή- σεων (συγκεκριμένα, των βασικών συναρτήσεων e x και 3x ).

Λυμένο παράδειγμα 155 από «Ε8-Π1-2+Κ26-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η συνάρτηση f(x) = x ⋅ ℓnx είναι συνεχής στο Df = (0 , + ∞) , ως γινόμενο συνεχών συ- ναρτήσεων (συγκεκριμένα, των βασικών συναρτήσεων x και ℓnx ).

Λυμένο παράδειγμα 156 από «Ε8-Π1-2+Κ26-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x +1 Η συνάρτηση f(x) = είναι συνεχής στο Df = ! , ως πηλίκο συνεχών συναρτήσε- ex ων (συγκεκριμένα, των συνεχών συναρτήσεων x + 1 και e x ).

Λυμένο παράδειγμα 157 από «Ε8-Π1-2+Κ26-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η συνάρτηση f(x) = e x+1 είναι συνεχής στο Df = ! , ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων (συγκεκριμένα, των συνεχών συναρτήσεων x + 1 και e x ). - 596 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 8η ΕΝΟΤΗΤΑ. Συνέχεια συνάρτησης

Λυμένο παράδειγμα 158 από «Ε8-Π1-2+Κ26-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η συνάρτηση f(x) = ℓn(x − 2) είναι συνεχής στο Df = (2 , + ∞) , ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων (συγκεκριμένα, των συνεχών συναρτήσεων x − 2 και ℓnx ). ΠΡΟΣΟΧΗ ! Όταν στον τύπο της συνάρτησης εμπλέκονται πολλές πράξεις, τότε η αιτιολόγηση περί της συνέχειάς της είναι διαφορετική.

Λυμένο παράδειγμα 159 από «Ε8-Π1-2+Κ26-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η συνάρτηση f(x) = 3xe x + ℓnx είναι συνεχής στο Df = (0 , + ∞) , ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων (διότι έχει γινόμενο και άθροισμα).

Λυμένο παράδειγμα 160 από «Ε8-Π1-2+Κ26-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2x Η συνάρτηση f(x) = x 2 + είναι συνεχής στο Df = ! , ως πράξεις συνεχών συναρτή- ex σεων (διότι έχει πηλίκο και άθροισμα). Όταν εμπλέκονται πολλές πράξεις δηλαδή, γράφουμε ότι «είναι συνεχής στο ... ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων». Μετά το «στο ...» θα αναφέρουμε το διάστημα στο οποίο η συνάρτηση ορίζεται και είναι συνεχής. Δεν θα γράψουμε ότι «είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων» η συνάρ- τηση: • f(x) = x 2 + 3x − e x , διότι είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων (συγκε- κριμένα, των συνεχών συναρτήσεων x 2 + 3x και e x ) x −3 • f(x) = , διότι είναι συνεχής, ως ρητή συνάρτηση. x2 + 4 • f(x) = x 3ℓnx , διότι είναι συνεχής, ως γινόμενο συνεχών (συγκεκριμένα, των συνεχών συναρτήσεων x 3 και ℓnx ). Αν κάτι τέτοιο γραφεί, μπορεί κάλλιστα να αποτελέσει λόγο αφαίρεσης βαθμού στις εξετάσεις. - 597 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

⎧⎪ ηµ2x ⎪⎪ , αν x < 0 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = ⎪⎨ x είναι συνεχής. ⎪⎪ ⎪⎩⎪ 3x + 1 , αν x ≥ 0

⎧⎪ ⎪⎪ x2 − x , αν x ≠ 1 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = ⎪⎨ x2 + 3 − 2 είναι συνεχής. ⎪⎪ ⎪⎪ 2 , αν x = 1 ⎩⎪

Η συνάρτηση f : ! → ! έχει την ιδιότητα f(x + y) = f(x) ⋅ συνy + f(y) ⋅ συνx , για κάθε x , y ∈ ! . Αν η f είναι συνεχής στο 1, να δείξετε ότι είναι συνεχής στο 2.

Έστω συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , με την ιδιότητα f(xy) = f(x) + f(y) , για κάθε x , y > 0 . Να δείξετε ότι: α. f(1) = 0 . β. αν η f είναι συνεχής στο 1, τότε είναι συνεχής.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω οι συναρτήσεις f , g : ! → ! τέτοιες, ώστε f 2 (x) + g 2 (x) + 1 = 2x ⋅ f(x) + 2g(x) , για κάθε x ∈ ! . Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο x 0 = 0 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω η συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , για την οποία ισχύει ότι f(xy) = f(x) + f(y) , για κάθε x , y ∈ (0 , + ∞) . α. Να δειχθεί ότι f(1) = 0 . ⎛1⎞ β. Να δειχθεί ότι f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = −f(x) , για κάθε x > 0 . ⎝ x ⎟⎠ γ. Να δειχθεί ότι, εάν η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική λύση στο (0 , + ∞) , τότε η συνάρτηση f είναι ένα προς ένα. δ. Εάν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 = 1 , να δειχθεί ότι είναι συνεχής στο (0 , + ∞) .

⎧⎪ 1 − συνx ⎪⎪ , αν x ≠ 0 Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) = ⎪⎨ x 2 . ⎪⎪ ⎪⎩⎪ 1 / 2 , αν x = 0 α. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την συνέχεια. β. Να βρεθεί το ℓ im f(x) . x→ +∞

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) − f(y) ≤ x − y , για κάθε x , y ∈ ! . Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ! .

⎧⎪ ℓn(x + 2) , αν x > −2 ⎪ Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = ⎨ είναι συνεχής στο ­2. ⎪⎪ 2ηµ(x + 2) , αν x ≤ −2 ⎩⎪

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω συνάρτηση f : ! → ! , με την ιδιότητα f 3 (x) + f(x) = f 2 (x) + x , για κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο x 0 = 0 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω συνάρτηση f, που ικανοποιεί την σχέση 4f(x) − f(x − 2) = 3x 2 + 6x , για κάθε x ∈ ! , και για την οποία ισχύει ότι ℓ im f(x) = 5 . Αν η f είναι συνεχής στο 1, να δειχθεί x→1 ότι είναι συνεχής στο ­1.

Αν η συνάρτηση f : ! → ! ικανοποιεί την σχέση f(x + y) = f(x) + f(y) , για κάθε x , y ∈ ! , να αποδειχθεί ότι: α. f(0) = 0 . β. αν η f είναι συνεχής στο x 0 = 0 , τότε είναι συνεχής στο ! .

Αν η συνάρτηση f : ! * → ! * ικανοποιεί την σχέση f(xy) = f(x) ⋅ f(y) , για κάθε x , y ∈ ! * , να αποδειχθεί ότι: α. f(1) = 1 . β. αν η f είναι συνεχής στο x 0 = 1 , τότε είναι συνεχής στο ! * .

Να αποδείξετε ότι, αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1 και ισχύει f(xy) = f(x) + f(y) , για κάθε x , y ∈ ! , τότε είναι συνεχής στο ! .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν οι συναρτήσεις f , g : ! → ! είναι συνεχείς στο x 0 και θεωρήσουμε την συνάρτηση ⎧⎪ f(x) , αν x < x ⎪ ϕ(x) = ⎪⎨ 0 , να αποδείξετε ότι η φ είναι συνεχής στο σημείο x 0 , αν και ⎪⎪ g(x) , αν x ≥ x ⎪⎩ 0 μόνο αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε αυτό το σημείο.