Ε1-Π1-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 1 από «Ε1-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f : (0 ,1) → ! έχουμε ότι x ∈ (0 ,1) και f(x) ∈ ! .

Λυμένο παράδειγμα 2 από «Ε1-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f : ! → ⎡⎢0 ,1⎤⎥ έχουμε ότι x ∈ ! και ⎣ ⎦ f(x) ∈ ⎡⎢0 ,1⎤⎥ ⇔ 0 ≤ f(x) ≤ 1 , για κάθε x ∈ ! . ⎣ ⎦ Σχόλιο στο παράδειγμα 2 Η ανισότητα για την f(x) αξιοποιείται συχνά με τον εξής τρόπο: θέτουμε στην θέση του x κάποιες τιμές από το διάστημα στο οποίο αυτή ορίζεται. Οι τιμές αυτές συνήθως «φωτογραφίζονται» από την ίδια την άσκηση (π.χ., στην άσκηση χρειάζεται η τιμή f(0), οπότε θέτοντας x = 0 στην ανισότητα έχουμε ότι 0 ≤ f(0) ≤ 1 . Όμοια για οποιαδήποτε άλλη τιμή χρειαστεί).

Λυμένο παράδειγμα 3 από «Ε1-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f : ⎡⎢0 ,1⎤⎥ → ⎡⎢−1,1⎤⎥ έχουμε ότι x ∈ ⎡⎢0 ,1⎤⎥ και ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ f(x) ∈ ⎡⎢−1,1⎤⎥ ⇔ −1 ≤ f(x) ≤ 1 , για κάθε x ∈ ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Το σχόλιο που αναφέρθηκε στο παράδειγμα 2 ισχύει αυτούσιο και εδώ. -3 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 4 από «Ε1-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x −2 Για την συνάρτηση f(x) = 2 πρέπει να είναι x 2 − 9 ≠ 0 , δηλαδή x −9 x 2 ≠ 9 ⇔ x ≠ ± 9 ⇔ x ≠ 3 και x ≠ −3 . -5 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το Df = ! − {−3 , 3} , το οποίο μπορεί να γραφεί και έτσι: Df = (−∞ ,− 3) ∪ (−3 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Λυμένο παράδειγμα 5 από «Ε1-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f(x) = x 2 − 1 πρέπει να είναι x 2 − 1 ≥ 0 , από όπου προκύπτει x ≤ −1 ή x ≥ 1 . (η ανίσωση δευτέρου βαθμού λύθηκε στο πρόχειρο) Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το Df = (−∞ ,− 1⎤⎥ ∪ ⎡⎢1, + ∞) . ⎦ ⎣ Σχόλια στην περίπτωση 2 α) Ο ίδιος περιορισμός τίθεται για ρίζα οποιασδήποτε τάξης, στις ασκήσεις όμως συναντούμε −σχεδόν κατ' αποκλειστικότητα− τετραγωνικές ρίζες, γι' αυτό και αναφέρ- θηκα μόνο σε αυτές. β) Αν η ρίζα είναι μόνη της σε παρονομαστή, τότε πρέπει το υπόρριζο να είναι με- γαλύτερο του μηδενός (και όχι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός). Αυτό προκύπτει ως εξής: 1 αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f(x) = , τότε πρέπει να είναι g(x) ⎧⎪ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪⎪ g(x) ≠ 0 ⎪⎪⎪ ⎪⎪ g(x) > 0 ⎪⎪ ⎨ ⎬⇔⎨ ⎬ , δηλαδή g(x) > 0 . ⎪⎪ και g(x) ≥ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ g(x) ≥ 0 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ -6 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων

Λυμένο παράδειγμα 6 από «Ε1-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 Για την συνάρτηση f(x) = πρέπει να είναι 1 − x 2 > 0 ⇔ x 2 − 1 < 0 , από όπου 2 1− x προκύπτει x ∈ (−1,1) . (η ανίσωση δευτέρου βαθμού λύθηκε στο πρόχειρο) Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το Df = (−1,1) .

Λυμένο παράδειγμα 7 από «Ε1-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f(x) = ℓn (2 − x) πρέπει να είναι 2 − x > 0 , από όπου εύκολα προ- κύπτει x < 2 . Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το Df = (−∞ , 2) . Σχόλιο στην περίπτωση 3 Ο ίδιος περιορισμός τίθεται και για δεκαδικό λογάριθμο, τον γνωστό ℓog , αν και αυτός σπάνια εμφανίζεται στις ασκήσεις. Όπως είναι γνωστό από την Άλγεβρα βέβαια, ο ίδιος περιορισμός τίθεται για οποιον- δήποτε λογάριθμο (αλλά στις ασκήσεις συναντούμε νεπέριο λογάριθμο ­κατά 99%­ ή δεκαδικό λογάριθμο ­κατά 0,99%­ και εξαιρετικά σπάνια λογάριθμο με βάση διαφο- ρετική του e ή του 10. Αυτό διότι στην Β΄ Λυκείου είναι ­εδώ και xρόνια­ εκτός διδακτέας ύλης οι λογάριθ- μοι με βάση διαφορετική του e και του 10).

Λυμένο παράδειγμα 8 από «Ε1-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για την συνάρτηση f(x) = (x − 1)x πρέπει είναι x − 1 > 0 , από όπου εύκολα προκύπτει x >1. -7 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το Df = (1, + ∞) .

Λυμένο παράδειγμα 9 από «Ε1-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 ⎧⎪ x > 0 και ⎫⎪ Για την συνάρτηση f(x) = πρέπει να είναι ⎪⎨ ⎪ , από όπου προκύπτει ⎬ ℓnx ⎪⎪ ℓnx ≠ 0 ⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎧⎪ x > 0 ⎫⎪ ⎪⎨ ⎪⎬ , δηλαδή x ∈ 0 ,1 ∪ 1, + ∞ . ⎪⎩⎪ x ≠ 1 ⎪⎭⎪ ( ) ( ) Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το Df = (0 ,1) ∪ (1, + ∞) . ❖ Σχόλιο 2ο - Απλοποίηση του τύπου της συνάρτησης Αν ο τύπος της συνάρτησης μπορεί να απλοποιηθεί, πρώτα βρες το πεδίο ορισμού της και μετά απλοποίησε τον τύπο της! Δηλαδή, το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης το βρίσκεις θέτοντας τους σχετικούς περιορισμούς με βάση τον τύπο που δόθηκε από την άσκηση και όχι με βάση τον τύπο που προκύπτει μετά από πιθανές απλοποιήσεις!

Λυμένο παράδειγμα 10 από «Ε1-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x2 − 4 Ας πάρουμε την συνάρτηση f(x) = . x −2 • Σωστό! Πρέπει να είναι x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 . Άρα η f έχει πεδίο ορισμού το Df = ! − {2} = (−∞ , 2) ∪ (2 , + ∞) . x2 − 4 (x − 2) (x + 2) Επίσης, είναι f(x) = = = x+2 . x −2 x −2 x2 − 4 (x − 2) (x + 2) • Λάθος! Είναι f(x) = = = x + 2 , άρα Df = ! . x −2 x −2 -8 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 11 από «Ε1-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎧⎪ 1 ⎪⎪ , αν x < 0 Για την συνάρτηση f(x) = ⎨ ⎪ x (κατ’ αντιστοιχία με όσα προαναφέρ- ⎪⎪ 2 ⎪⎩⎪ ℓn(x + 1) , αν x ≥ 0 θηκαν) έχουμε ότι είναι Δ1 = (−∞ , 0) , Δ2 = ⎡⎢0 , + ∞) , οπότε το πεδίο ορισμού της f εί- ⎣ ναι το Df = Δ1 ∪ Δ2 = (−∞ , 0) ∪ ⎡⎢0 , + ∞) = ! . ⎣ -9 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων Σχόλιο στο παράδειγμα 11 Αν και στον πρώτο κλάδο (στον άνω τύπο δηλαδή) θα έπρεπε να τεθεί ο περιορισμός x ≠ 0 , αυτό δεν χρειάζεται, αφού εκεί είναι x < 0 .

Λυμένο παράδειγμα 12 από «Ε1-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎧⎪ 2 ⎪ −x , αν x ≤ 0 Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση f(x) = ⎪⎨ x . ⎪⎪ e , αν x > 0 ⎩⎪ Κατ’ αρχάς, πεδίο ορισμού της f είναι το Df = ! (η ένωση, όπως αναφέρθηκε προη- γουμένως, των διαστημάτων που προκύπτουν από τις ανισότητες x ≤ 0 και x > 0 ). ⎛ 1⎞ 1 • Για να βρω τις τιμές f(0) , f(−1) , f ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ , θα θέσω x = 0 , x = −1 , x = − στον ⎝ 2 ⎠⎟ 2 1 τύπο f(x) = −x 2 , αφού οι αριθμοί 0 , − 1 , − ανήκουν στο διάστημα (−∞ , 0⎤⎥ που 2 ⎦ προκύπτει από τον άνω τύπο ( x ≤ 0 ). ⎧⎪ 2 ⎪⎪ −x , αν x < 0 Όμως! Αν δινόταν η συνάρτηση f(x) = ⎨ x , τότε η τιμή f(0) δεν ορίζεται. ⎪⎪ e , αν x > 0 ⎩⎪ Επίσης, το πεδίο ορισμού είναι το ! * = ! − {0} = (−∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . • Για να βρω τις τιμές f(1) , f(2) , f(ℓn2) , θα θέσω x = 1 , x = 2 , x = ℓn2 στον τύπο f(x) = e x , αφού οι αριθμοί 1 , 2 , ℓn2 ανήκουν στο διάστημα (0 , + ∞) που προκύπτει από τον κάτω τύπο ( x > 0 ). - 10 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων ΠΡΟΣΟΧΗ ! Οι συναρτήσεις διπλού τύπου παριστάνονται με άγκιστρο για να δοθούν οι δύο τύποι τους. Αυτό δημιουργεί μια οπτική συνήθεια, η οποία πολλές φορές οδηγεί στο λάθος να θεω- ρούνται συναρτήσεις διπλού τύπου και συναρτήσεις των μορφών ⎧⎪ f (x) , αν x > x ⎧⎪ f (x) , αν x < x ⎧⎪ f (x) , αν x ≠ x ⎪ ⎪ ⎪ f(x) = ⎪⎨ 1 0 , f(x) = ⎪⎨ 1 0 , f(x) = ⎪⎨ 1 0 , ⎪⎪ α , αν x = x ⎪⎪ α , αν x = x ⎪⎪ α , αν x = x ⎪⎩ 0 ⎩⎪ 0 ⎩⎪ 0 με α ∈ ! (σταθερός αριθμός) σε κάθε περίπτωση. Οι μορφές αυτές δεν είναι συναρτήσεις διπλού τύπου, διότι απλά δεν υπάρχουν δύο τύποι! Ειδικότερα, ο δεύτερος κλάδος τους δίνει την τιμή της f στο x 0 , δηλαδή είναι f(x 0 ) = α . Επίσης, οι παραπάνω μορφές μπορεί να μην δοθούν γραμμένες με άγκιστρο. 1 Για παράδειγµα, μπορεί να δοθεί η συνάρτηση f(x) = , για κάθε x ≠ 1 , με

Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: α. f(x) = (e x − 1) ⋅ ℓn(x − 1) . β. f(x) = ℓn(1 − x 2 ) .

Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 1 α. f(x) = e x − 1 + 1 − ℓnx . β. f(x) = ⋅ ℓnx . x −1

x2 + 1 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = . e2x − e−2x

Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = x 3 − x 2 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που να ικανοποιεί την σχέση f(x) + f(2 − x) = x , για κάθε x ∈ ! .

ηµx + x − 1 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = . ℓn(x + 1)

Να προσδιορισθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: x −3 1 1 α. f(x) = . β. f(x) = . γ. f(x) = . x −2 x2 − 9 ℓnx − 1

Να προσδιορισθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 3x α. f(x) = ℓnx − 1 . β. f(x) = . γ. f(x) = ℓog(1 − x) . x2 + x

Να προσδιορισθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: x +1 x +1 α. f(x) = x 2 − 2x . β. f(x) = . γ. f(x) = . x+4 x+4

Να προσδιορισθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: x ⎛ 1⎞ 4 − x2 α. f(x) = ⎜⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ . β. f(x) = . ⎝ x ⎟⎠ x2 − x

Να προσδιορισθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: ( ) 3 2x−3 α. f(x) = 8 − x + 1 . β. f(x) = x 2 − x − 2 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 1 Να ορισθεί ο µ ∈ ! , ώστε η συνάρτηση f(x) = 2 να έχει πεδίο ορισμού ℓn(x + 2µx + 4) το ! .