Θεώρημα του Rolle – Κατηγορία 37

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, με f(1) = f(2) = f(3) . Να δεί- ξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ (1, 3) τέτοιο, ώστε f ′′(ξ) = 0 .

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , δύο φορές παραγωγίσιμη, με f(0) = f(2) = 2 και f(1) = 3 . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0 , 2) τέτοιο, ώστε f ′′(ξ) = 4 − 6ξ .

Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και ισχύουν f(α) = 0 , f(β) = 0 ⎣ ⎦ και f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ (α , β) . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0 ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε 2 ⎡ f ′(x )⎤ ⎢ 0 ⎦⎥ f (x 0 ) = − ⎣ ′′ . f(x 0 )

Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και ισχύουν ⎣ ⎦ f(α) = 3α 2 , f(β) = 3β2 , f(γ) = 3γ2 , με γ ∈ (α , β) . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0 ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε f ′′(x 0 ) = 6 .

Η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και ισχύουν f(α) = f(β) και ⎣ ⎦ f ′(α) = f ′(β) = 0 . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε f (3) (ξ) = 0 .

Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! , με f(0) = 1 , f(1) = e − 1 και f(2) = e2 − 8 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0 , 2) , ώστε f ′′(ξ) + 6ξ = eξ .

Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! , με f(1) = 1 , f(2) = 4 − ℓn2 , 1 f(e) = e2 − 1 . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (1, e) τέτοιο, ώστε f ′′(ξ) − −2 = 0 . ξ2