Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο – Κατηγορία 5

Η συνάρτηση f ορίζεται στο ! , με f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! , και την ιδιότητα f(x + y) = f(x) ⋅ f(y) + 3xy(x + y) , για κάθε x , y ∈ ! . Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο ! .

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 1 και ισχύει f(xy) = f(x) + f(y) , για κάθε x , y ∈ ! * , να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x 0 ∈ ! * .

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με f(x + y) = f(x) + f(y) + 5xy , για κάθε x , y ∈ ! , να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x 0 ∈ ! .

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 , με f ′(0) = 5 και f(x + y) = f(x) ⋅ συνy + f(y) ⋅ συνx , για κάθε x , y ∈ ! . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ! .

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει f(x + y) = f(x) ⋅ f(y) και f(x) > 0 , για κάθε x , y ∈ ! . Να αποδείξετε ότι: α. f(0) = 1 . β. αν η f είναι συνεχής στο x 0 = 0 , τότε είναι συνεχής στο ! . γ. αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 και ισχύει f ′(0) = 1 , τότε είναι παραγωγίσι- μη στο ! , με f ′(x) = f(x) , για κάθε x ∈ ! .