ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4

Λυμένο παράδειγμα 35 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: • 6 2 − 3 2 + 5 2 − 10 2 = −2 2 . • 3 2 −5 3 + 4 2 − 3 = 7 2 −6 3 .

Λυμένο παράδειγμα 36 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 1⋅ 2 2 2 = = = . 2 2⋅ 2 2 2 2 1 Γενικώς, για κλάσμα της μορφής , α > 0 , ισχύει α 1 1⋅ α α α = = = , α α ⋅ α 2 α α 1 α δηλαδή = . α α

Λυμένο παράδειγμα 37 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 2⋅ 5 2 5 2 5 2 5 = = = = . 3 5 3 5⋅ 5 2 3 ⋅5 15 3 5

Λυμένο παράδειγμα 38 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 3 3⋅ 3 3 3 3 3 = = 2 = = 3 . 3 3 ⋅ 3 3 3 α Γενικώς, για κλάσμα της μορφής , α > 0 , ισχύει α α α⋅ α α α α α = = 2 = = α , α α ⋅ α α α - 82 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί α δηλαδή = α . α

Λυμένο παράδειγμα 39 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 = ( 2 − 1) = 2 − 1 = 2 − 1 = 2 − 1 . 1⋅ 2 +1 ( 2 + 1)( 2 − 1) 2 − 1 2 − 1 2 2

Λυμένο παράδειγμα 40 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 = ( 2⋅ 3+ 2 ) = ( 2 3+ 2 ) = 6+2 2 = 6+2 2 . 3− 2 (3 − 2)(3 + 2) 32 − 2 2 9−2 7

Λυμένο παράδειγμα 41 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 = ( 2 − 3) = 2 ( 2 − 3) = 2 ( 2 − 3) = 2⋅ 2+ 3 ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) 2 − 3 2−3 2 2 2 ( 2 − 3) = − 2 2 − 3 = 2 3 − 2 . = −1 ( ) ( ) - 83 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Λυμένο παράδειγμα 42 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 = ( 1⋅ 2 2 + 1 ) = 2 2 +1 = 2 2 +1 = 2 2 +1 . 2 2 −1 (2 2 − 1)(2 2 + 1) (2 2) − 1 2 2 4 ⋅2−1 7

Λυμένο παράδειγμα 43 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 8 = 4 ⋅ 2 = 22 ⋅ 2 = 2 2 .

Λυμένο παράδειγμα 44 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 12 = 4 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3 = 2 3 .

Λυμένο παράδειγμα 45 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 32 = 16 ⋅ 2 = 42 ⋅ 2 = 4 2 .

Λυμένο παράδειγμα 46 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 48 = 16 ⋅ 3 = 42 ⋅ 3 = 4 3 . - 84 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Λυμένο παράδειγμα 47 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 75 = 25 ⋅ 3 = 52 ⋅ 3 = 5 3 . Γενική παρατήρηση στις πράξεις µε ρίζες Πάντα πρέπει να είναι έτοιμες προς χρήση οι ιδιότητες των ριζών! Όσα αναφέρθηκαν ήδη δεν αποτελούν μονόδρομο, αφού μπορεί κάλλιστα κάποια ιδιότητα των ριζών να αλλάξει την πορεία. Για παράδειγμα, κάποιος μπορεί να πει ότι η πρόσθεση 2 + 8 δεν είναι εφικτή, αφού τα υπόρριζα είναι διαφορετικά. Και όμως! Επειδή είναι 8 = 4 ⋅ 2 = 2 2 , έχουμε 2 + 8 = 2 +2 2 = 3 2 . Επίσης, τόσο κατά τον πολλαπλασιασμό, όσο και κατά την διαίρεση ριζών, ακόμη και για κλάσματα με ρίζα στον παρονομαστή, κάποια ιδιότητα των ριζών μπορεί να εξοι- κονομήσει χρόνο και πράξεις!

Λυμένο παράδειγμα 48 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 10 Για το κλάσμα , επειδή υπάρχει ρίζα στον παρονομαστή, κάποιος θα μπορούσε 5 να κάνει τα εξής (σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στο τι πρέπει να γίνει, όταν υπάρχει ρίζα στον παρονομαστή): 10 10 ⋅ 5 50 50 25 ⋅ 2 5 2 = = = = = = 2. 5 5⋅ 5 2 5 5 5 5 Σωστά μεν, αλλά πολλή φασαρία για το τίποτα! Πολύ πιο οικονομικά, έχουμε: 10 10 10 5 ⋅ 2 = = 2 ή και = = 2 . 5 5 5 5 - 85 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λύση σχολικού βιβλίου – Α1/74 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. • 100 = 102 = 10 . • 3 1000 = 3 103 = 10 . • 4 10000 = 4 104 = 10 . • 5 100000 = 5 105 = 10 . ii. • 4 = 22 = 2 . • 3 8 = 3 23 = 2 . • 4 16 = 4 24 = 2 . • 5 32 = 5 25 = 2 . iii. (10 ) = 10 = 0,1 . 2 • 0, 01 = 10−2 = −1 −1 ( ) = 10 = 0,1 . 3 • 3 0, 001 = 3 10−3 = 3 10−1 −1 ( ) = 10 = 0,1 . 4 • 4 0, 0001 = 4 10−4 = 4 10−1 −1 ( ) = 10 = 0,1 . 5 • 5 0, 00001 = 5 10−5 = 5 10−1 −1 Σε όλη την άσκηση χρησιμοποιήσα την ιδιότητα 1 (σελίδα 77), α >0 ν αν = α = α . - 86 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Λύση σχολικού βιβλίου – Α2/74 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Είναι (π − 4) = π − 4 = 4 − π , 2 διότι είναι π < 4 ⇔ π − 4 < 0 . (−20) = −20 = 20 . 2 ii. Είναι iii. Είναι ⎧⎪ x − 1 , αν x − 1 ≥ 0 ⎧⎪ x − 1 , αν x ≥ 1 ⎪ ⎪ (x − 1) 2 = x −1 = ⎨ =⎨ . ⎪⎪ 1 − x , αν x − 1 < 0 ⎪⎪ 1 − x , αν x < 1 ⎩⎪ ⎩⎪ iv. Είναι ⎧⎪ x ⎪⎪ ⎪⎪ 2 , αν x ≥ 0 2 2 x ⎛ x ⎞⎟ x = ⎜⎜ ⎟ = x = =⎨ . 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2 2 ⎪⎪ −x ⎪⎪ , αν x < 0 ⎪⎩ 2

Λύση σχολικού βιβλίου – Α3/74 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι (2 − 5 ) + (3 − 5 ) = 2 − 5 + 3 − 5 . 2 2 Α= • Είναι 5 ≅ 2, 2 > 2 , οπότε 2 − 5 < 0 , συνεπώς 2 − 5 = 5 − 2 . • Είναι 5 ≅ 2, 2 < 3 , οπότε 3 − 5 > 0 , συνεπώς 3 − 5 = 3 − 5 . Επομένως, Α= 5 −2+ 3− 5 = 1 . - 87 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Λύση σχολικού βιβλίου – Α4/74 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. Πρέπει να είναι ⎧⎪ x − 5 ≥ 0 και ⎫⎪ ⎧⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⇔ ⎪ x ≥ 5 ⎪⎪ , δηλαδή x ≥ 5 . ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪⎪ x + 3 ≥ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ x ≥ −3 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩ ⎭ Επειδή πρέπει να ισχύουν και οι δύο περιορισμοί, λύνω κάθε ανίσωση μόνη της και στο τέλος βρίσκω πού συναληθεύουν. Τότε, ( x − 5 − x + 3 )( x − 5 + x + 3 ) = x − 5 − x + 3 = x − 5 − (x + 3) = 2 2 = x − 5 − x − 3 = −8 .

Λύση σχολικού βιβλίου – Α5/74 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. i. • 8 = 4 ⋅ 2 = 22 ⋅ 2 = 2 2 . • 18 = 9 ⋅ 2 = 32 ⋅ 2 = 3 2 . • 50 = 25 ⋅ 2 = 52 ⋅ 2 = 5 2 . • 72 = 36 ⋅ 2 = 62 ⋅ 2 = 6 2 . • 32 = 16 ⋅ 2 = 42 ⋅ 2 = 4 2 . Επομένως, ( 8 − 18 )( 50 + 72 − 32 ) = (2 2 − 3 2 )(5 2 + 6 2 − 4 2 ) = 2 = − 2 ⋅ 7 2 = −7 2 = −7 ⋅ 2 = −14 . - 88 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ii. • 28 = 4 ⋅ 7 = 22 ⋅ 7 = 2 7 . • 32 = 16 ⋅ 2 = 42 ⋅ 2 = 4 2 . • 63 = 9 ⋅ 7 = 32 ⋅ 7 = 3 7 . Επομένως, ( 28 + 7 + 32 )( 63 − 32 ) = (2 7 + 7 + 4 2 )(3 7 − 4 2 ) = ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 = 3 7 +4 2 3 7 −4 2 = 3 7 − 4 2 = 63 − 32 = 63 − 32 = 31 .

Λύση σχολικού βιβλίου – Α6/74 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Είναι (2 − 2 )(2 + 2 ) = 2 ⋅ 2 − 2 = 2 ⋅ 4 − 2 = 2 2 2 ⋅ 2− 2 ⋅ 2+ 2 = 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 2 = 2. ii. Είναι ( )(3 − 5 ) = 2 ⋅ 3 − 5 = 2 ⋅ 9 − 5 = 2 3 3 2 ⋅ 3 3+ 5 ⋅ 3 3− 5 = 3 2 ⋅ 3 3+ 5 3 2 3 3 = 3 2 ⋅ 3 4 = 3 2 ⋅ 4 = 3 8 = 3 23 = 2 .

Λύση σχολικού βιβλίου – Α7/74 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Είναι 2⋅ 3 2 = 3 23 ⋅ 2 = 3 24 = 2⋅2⋅3 24 = 4⋅3 24⋅1 = 3 21 = 3 2 . Στο πρώτο βήμα χρησιμοποίησα την ιδιότητα 6 (σελίδα 79) «από την ανάποδη»: 2 ⋅ 3 2 = 3 23 ⋅ 2 , δηλαδή έβαλα μέσα στην ρίζα τον συντελεστή της, υψώνοντάς τον σε εκθέτη ίσο με την τάξη της ρίζας (τρίτη η τάξη, ύψωσα στην τρίτη). Στο τρίτο βήμα χρησιμοποίησα την ιδιότητα 4 (σελίδα 79), - 89 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί µ ν µ ⋅ν α = α , ενώνοντας τις τρεις ρίζες σε μία, της οποίας η τάξη είναι ίση με το γινόμενο των τάξε- ων των ριζών που ενώθηκαν: 3 24 = 2⋅2⋅3 24 . ii. Είναι 5 5 2⋅ 2⋅ 3 2 = 5 2⋅ 3 23 ⋅ 2 = 5 2⋅ 3 24 = 5 2 ⋅ 2⋅3 22⋅2 = 2 ⋅ 3 22 = = 5 3 23 ⋅ 22 = 5 3 25 = 5⋅3 25⋅1 = 3 21 = 3 2 . Και εδώ έκανα τις κινήσεις που εξήγησα στο (i).

Λύση σχολικού βιβλίου – Α8/74 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Είναι 3 1 3 1 9+4 13 + 4 33 ⋅ 3 3 = 3 4 ⋅ 3 3 = 3 4 3 = 3 13 = 3 12 = 12 313 = 12 312+1 = 12 312 ⋅ 31 = 3 ⋅ 12 3 . Στην αρχή χ3ρησιμοποίησα την ιδιότητα 7 (σελίδα 80), µ α ν = ν αµ , μετέτρεψα τις ρίζες σε δυνάμεις, οπότε οι πράξεις έγιναν μετά σύμφωνα με τις ιδιότη- τες των δυνάμεων. ii. Είναι 8 5 8 5 16 +15 31 + 9 28 ⋅ 6 25 = 2 9 ⋅ 2 6 = 2 9 6 =2 18 = 2 18 = 18 231 = 18 218 +13 = 18 218 ⋅ 213 = 2 ⋅ 18 213 . Και εδώ χρησιμοποίησα την ίδια ιδιότητα. iii. Είναι 3 1 4 3 1 4 9 + 2+ 4 15 5 + + 53 ⋅ 3 5 ⋅ 6 54 = 5 2 ⋅ 5 3 ⋅ 5 6 = 5 2 3 6 =5 6 = 5 6 = 5 2 = 55 = 54 +1 = (5 ) ⋅ 5 = 5 ⋅ 5 = 25 5 . 2 = 54 ⋅ 51 = 2 2 - 90 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Δεύτερος τρόπος για το (iii) Είναι 3⋅2 53 ⋅ 3 5 ⋅ 6 54 = 52 ⋅ 5 ⋅ 3 5 ⋅ 52⋅2 = 5 5 ⋅ 3 5 ⋅ 3 52 = 5 5 ⋅ 3 5 ⋅ 52 = 5 5 ⋅ 3 53 = = 5 5 ⋅ 5 = 25 5 .

Λύση σχολικού βιβλίου – Α9/74 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. i. Είναι 25 12 25 4 ⋅ 3 25 22 ⋅ 3 25 ⋅ 2 3 = = = = 5 ⋅ 2 = 10 . 75 25 ⋅ 3 52 ⋅ 3 5 3 ii. Είναι: • 216 = 36 ⋅ 6 = 62 ⋅ 6 = 6 6 . • 75 = 25 ⋅ 3 = 52 ⋅ 3 = 5 3 . • 50 = 25 ⋅ 2 = 52 ⋅ 2 = 5 2 . Επομένως, 216 ⋅ 75 6 6 ⋅5 3 6 2⋅3 ⋅ 3 6 2 ⋅ 3 ⋅ 3 2 = = = = 6 3 = 6 ⋅ 3 = 18 . 50 5 2 2 2

Λύση σχολικού βιβλίου – Α10/75 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Π4». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Πρόκειται για άσκηση επανάληψης Γ΄ Γυμνασίου. i. Είναι 4 = ( 4 5+ 3 ) = ( 4 5+ 3 ) = 4 (5 + 3 ) = 4 (5 + 3 ) = 5− 3 (5 − 3 )(5 + 3 ) 52 − 3 2 25 − 3 22 = ( 2 5+ 3 ) = 10 + 2 3 . 11 11 - 91 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ii. Είναι 8 = 8( 7 + 5 ) = 8( 7 + 5 ) = 8( 7 + 5 ) = 8 ( 7 + 5 ) = 7 − 5 ( 7 − 5 )( 7 + 5 ) 7 − 5 7−5 2 2 2 =4 ( 7 + 5 )= 4 7 +4 5 . iii. Είναι ( )( ) =( ) = 7 + 6 +2⋅ 7 ⋅ 6 = 2 2 2 7 + 6 7 + 6 7 + 6 7 + 6 = 7 − 6 ( 7 − 6 )( 7 + 6 ) 7 − 6 7−6 2 2 = 7 + 6 + 2 7 ⋅ 6 = 13 + 2 42 .