ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 1 – σελ. 3 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎧⎪ α = β και ⎫⎪ Αν ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , τότε ισχύει και α + γ = β + δ , αλλά όχι αντίστροφα. ⎬ ⎪⎪ γ = δ ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 2 – σελ. 3 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Από την σχέση α 2 = αβ προκύπτει α 2 − αβ = 0 ⇔ α(α − β) = 0 ⇔ α = 0 ή α − β = 0 ⇔ α = 0 ή α = β . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 3 – σελ. 3 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι (α + β)2 = α 2 + β2 + 2αβ , βάσει της βασικής ταυτότητας της Άλγεβρας. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 4 – σελ. 3 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν θεωρήσουμε τους αριθμούς α = 2 + 3 , β = 2 − 3 , οι οποίοι είναι άρρητοι, τότε είναι α +β = 2+ 3 +2− 3 = 4 , που είναι ρητός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι ο ισχυρισμός είναι ψευδής. - 97 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 5 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν θεωρήσουμε τους αριθμούς α = 2 + 3 , β = 2 − 3 , οι οποίοι είναι άρρητοι, τότε είναι ( )(2 − 3 ) = 2 − 3 = 4 − 3 = 1 , 2 2 α ⋅β = 2+ 3 που είναι ρητός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 6 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι ⎧⎪ α > β ⎫⎪ ⎧⎪ α > β ⎫⎪ ⎪ ⎪⇔⎪ ⎪. ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪⎪ γ < δ ⎪⎪ ⎪⎪ −γ > −δ ⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες, προκύπτει α − γ > β − δ , οπότε ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 7 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Από την σχέση α 2 > αβ προκύπτει α 2 − αβ > 0 ⇔ α(α − β) > 0 , από όπου δεν προκύπτει όμως ότι είναι α > 0 και α − β > 0 , δηλαδή ότι α > β , αφού και αν είναι α < 0 και α − β < 0 , τότε πάλι θα είναι α(α − β) > 0 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 8 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: α Από την σχέση > 1 προκύπτει β α α−β −1 > 0 ⇔ >0. β β Επειδή το πρόσημο ενός πηλίκου και ενός γινομένου συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρό- πο, από την τελευταία ανισότητα προκύπτει η ισοδύναμη β(α − β) > 0 , από όπου δεν προκύπτει όμως ότι είναι β > 0 και α − β > 0 , δηλαδή ότι α > β , αφού και αν είναι β < 0 και α − β < 0 , τότε πάλι θα είναι β(α − β) > 0 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. - 98 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 9 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎧⎪ α > β ⎫⎪ Είναι ⎪⎨ ⎪ , από όπου με κατά μέλη πρόσθεση προκύπτει 2α > 0 ⇔ α > 0 . ⎬ ⎪⎪ α > −β ⎪⎪ ⎩ ⎭ Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 10 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 1 1 Παρατηρώ ότι, αν είναι α = , τότε από την σχέση α > προκύπτει > 2 , το 2 α 2 οποίο προφανώς είναι άτοπο. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 11 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Από την σχέση α < β προκύπτει −α > −β ⇔ (−α)2 > (−β)2 ⇔ α 2 > β2 , που σημαίνει ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής (ύψωσα τα μέλη στο τετράγωνο, διότι −α > 0 , − β > 0 ).

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 12 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Θεωρώντας α = 1 , β = 2 , είναι αβ = 1 ⋅ 2 = 2 < 6 , δηλαδή η πρόταση δεν ισχύει. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 13 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι ⎧⎪ α < −2 ⎫⎪ ⎧⎪ −α > 2 ⎫⎪ ⎪⎨ ⎪⎬ ⇔ ⎪⎨ ⎪⎬ . ⎪⎪ β < −3 ⎪⎪ ⎪⎪ −β > 3 ⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ανισότητες αυτές προκύπτει (−α) ⋅ (−β) > 6 ⇔ αβ > 6 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής. - 99 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 14 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι 4α 2 − 20αβ + 25β2 ≥ 0 ⇔ (2α)2 − 2 ⋅ 2α ⋅ 5β + (5β)2 ≥ 0 ⇔ (2α − 5β)2 ≥ 0 , που ισχύει για κάθε α , β ∈ ! . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 15 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Γενικώς, ισχύει x 2 + y2 = 0 ⇔ x = 0 και y = 0 , ενώ είναι x2 + y2 > 0 ⇔ x ≠ 0 ή y ≠ 0 , δηλαδή αν και μόνο αν οι βάσεις των τετραγώνων δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα. Είναι α − 1 = 0 ⇔ α = 1 και α + 1 = 0 ⇔ α = −1 , δηλαδή διαφορετικοί αριθμοί μηδενίζουν τις βάσεις των τετραγώνων του δοθέντος αθροίσματος, άρα αυτές δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα. Επομένως είναι (α − 1)2 + (α + 1)2 > 0 , δηλαδή ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 16 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Παρατηρώ ότι για α = −1 είναι α 2 − 1 = (−1)2 − 1 = 1 − 1 = 0 και α + 1 = −1 + 1 = 0 , δηλαδή οι βάσεις των τετραγώνων του δοθέντος αθροίσματος μηδενίζονται ταυτόχρονα για α = −1 . Επομένως είναι (α 2 − 1)2 + (α + 1)2 ≥ 0 και όχι > 0 , συνεπώς ο ισχυρισμός είναι ψευ- δής. - 100 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 17 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι ⎧⎪ α + β = 0 και ⎫⎪ (α + β) + (α − β) = 0 ⇔ ⎪⎨ 2 2 ⎪. ⎬ ⎪⎪ α − β = 0 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις του συστήματος, προκύπτει 2α = 0 ⇔ α = 0 . Τότε από την εξίσωση α + β = 0 εύκολα προκύπτει και β = 0 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 18 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ισχύει: ( ) ⇔ (α + β) = α + β + 2 α ⋅ β ⇔ 2 2 2 2 2 α+β = α + β ⇔ α+β = α + β ⇔ α 2 + β2 + 2αβ = α 2 + β2 + 2 αβ ⇔ 2αβ = 2 αβ ⇔ αβ = αβ ⇔ αβ ≥ 0 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 19 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Από την σχέση α 2 = β προκύπτει α = β ή α = − β . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 20 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι α 2 = α , οπότε ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 21 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ο ισχυρισμός είναι αληθής (βασική ιδιότητα της θεωρίας).

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 22 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για να έχουν νόημα οι α , β , πρέπει να είναι α ≥ 0 και β ≥ 0 . Αν είναι α ≤ 0 και β ≤ 0 , τότε πάλι είναι αβ ≥ 0 , αλλά δεν έχουν νόημα οι α , β . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. - 101 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 23 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι α 2β = α ⋅ β , οπότε ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ερώτηση 24 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ο ισχυρισμός είναι ψευδής.