Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης – Κατηγορία 48

x4 x3 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = − . 4 3 α. Να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία. β3 − α 3 β4 − α 4 β. Αν β ≥ α ≥ 1 , να δείξετε ότι ισχύει ≤ . 3 4

ηµx ⎛ π⎞ α. Να μελετήσετε την μονοτονία της συνάρτησης f(x) = , x ∈ ⎜⎜⎜0 , ⎟⎟⎟ . x ⎝ 2 ⎠⎟ π α ηµα β. Αν 0 < α < β < , να δείξετε ότι < . 2 β ηµβ

Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x) = x − π ℓnx και κατόπιν να αποδειχθεί ότι e eππ > e2π .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ℓnx Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , x>0. x α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β. Να αποδειχθεί ότι eπ > π e . γ. Να αποδειχθεί ότι e x ≥ x e , για κάθε x > 0 . δ. Να αποδειχθεί ότι α α+1 > (α + 1)α , για κάθε α > e .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x x . α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β. Αν x ≥ 2 , να δείξετε ότι x x > (x − 1)x−1 . ℓn(x − 1) γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = είναι γνησίως αύξουσα στο ⎡⎢2 , + ∞) . ℓnx ⎣ δ. Αν 2 < α < β , να δείξετε ότι βℓn(α−1) < α ℓn(β−1) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ℓnx α. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = ℓn . x β. Αν α > β > e , να αποδείξετε ότι α β < βα . γ. Να συγκρίνετε τους αριθμούς 2 3 και 3 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ⎡ π⎞ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2ηµx + εϕx − 3x , x ∈ ⎢0 , ⎟⎟⎟ . ⎢ 2 ⎟⎠ ⎣ α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. ⎡ π⎞ β. Να αποδείξετε ότι ηµ2x + ηµx ≥ 3x συνx , x ∈ ⎢0 , ⎟⎟⎟ . ⎢ 2 ⎠⎟ ⎣