ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 1 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Παρατηρώ ότι, για α = 1 , από την εξίσωση προκύπτει 0⋅ x = 1⋅0 ⇔ 0⋅ x = 0 , δηλαδή η εξίσωση τότε είναι ταυτότητα. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 2 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι x + 1 > 0 και x + 2 > 0 , για κάθε x ∈ ! , δηλαδή ( x + 1 )( x + 2 ) > 0 , για κάθε x ∈ ! , το οποίο σημαίνει ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 3 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Από την εξίσωση προκύπτει x − 1 = 0 ή x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ή x = 2 ⇔ x = 1 ή x = −1 ή x = 2 ή x = −2 , δηλαδή η εξίσωση έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες και όχι δύο. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 4 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Επειδή είναι x + 2 > 0 , για κάθε x ∈ ! , από την εξίσωση προκύπτει x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇔ x = 1 ή x = −1 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής. - 78 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 5 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Επειδή είναι x ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! , πρέπει να είναι και x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 . Τότε, από την εξίσωση προκύπτει x = x − 2 ή x = −x + 2 ⇔ 0 = −2 (αδύνατο) ή 2x = 2 ⇔ x = 1 . Η λύση αυτή απορρίπτεται όμως, λόγω του περιορισμού x ≥ 2 , συνεπώς η εξίσωση είναι αδύνατη. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 6 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Επειδή είναι x ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! , πρέπει να είναι και 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 . Τότε, από την εξίσωση προκύπτει x = 2 − x ή − x = 2 − x ⇔ 2x = 2 ή 0 = 2 (αδύνατο) ⇔ x = 1 , τιμή που ικανοποιεί τον περιορισμό x ≤ 2 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 7 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αφού οι αριθμοί α και γ είναι ετερόσημοι, κανένας εξ αυτών δεν μπορεί να είναι μηδέν. Επίσης, ισχύει αγ < 0 . Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ = β2 − 4αγ > 0 , αφού είναι αγ < 0 ⇔ −4αγ > 0 και β2 ≥ 0 , για κάθε β ∈ ! . Η εξίσωση, επομένως, έχει δύο άνισες ρίζες, άρα ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 8 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η εξίσωση x 2 − 3x + 2 = 0 έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και 2, όπως και η εξίσωση 2x 2 − 6x + 4 = 0 . Προφανώς, όμως, δεν είναι ίσοι οι συντελεστές των ίσων δυνάμεων, άρα ο ισχυρισμός είναι ψευδής. - 79 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 9 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Παρατηρώ ότι για α = 0 προκύπτει η εξίσωση 2x = 0 , από όπου έχω x = 0 , μία ρίζα δηλαδή. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 10 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η εξίσωση γράφεται (x − 2α)2 = 0 , από όπου προκύπτει x − 2α = 0 ⇔ x = 2α (διπλή ρίζα). Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 11 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ = (−2α)2 − 4 ⋅ α 2 ⋅ 2 = 4α 2 − 8α 2 = −4α 2 < 0 , αφού είναι α ≠ 0 . Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, οπότε ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 12 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ = (3α)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ α 2 = 9α 2 − 8α 2 = α 2 ≥ 0 , οπότε έχει πραγματικές ρίζες, συνεπώς ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 13 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι 2 2 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎟ ⎤⎥ ⎛ 1 ⎞⎟ 1 1 ⎢ ⎜ Δ = ⎢−⎜⎜α + ⎜ ⎟⎟ − 4 ⋅1 ⋅1 = ⎜α + ⎟⎟ − 4 = α 2 + 2 + 2 − 4 = α 2 + 2 − 2 = ⎥ α ⎟⎠ ⎥⎦ ⎜ α ⎟⎠ α α ⎢⎣ ⎝ ⎝ 2 1 1 ⎛ 1 ⎞⎟ 2 = α + 2 −2⋅α ⋅ = ⎜⎜⎜α − ⎟⎟ ≥ 0 , α α ⎝ α ⎟⎠ δηλαδή η εξίσωση μπορεί να έχει και μία διπλή ρίζα. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. - 80 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 14 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Στην πρώτη εξίσωση πρέπει να είναι x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 και προκύπτει x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ή x = 1 (απορρίπτεται) ⇔ x = 2 . x −1 Η δεύτερη εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και 2. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 15 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Στην πρώτη εξίσωση πρέπει να είναι x 2 − 1 ≠ 0 ⇔ x 2 ≠ 1 ⇔ x ≠ ± 1 ⇔ x ≠ 1 και x ≠ −1 . Από αυτήν προκύπτει τότε 2x 2 + 3x + 1 = 5(x 2 − 1) ⇔ 2x 2 + 3x + 1 = 5x 2 − 5 ⇔ 3x 2 − 3x − 6 = 0 ⇔ x 2 − x − 2 = 0 ⇔ ⇔ x = 2 ή x = −1 (απορρίπτεται) ⇔ x = 2 . Κάνοντας τις πράξεις στην δεύτερη εξίσωση καταλήγουμε στην x 2 − x − 2 = 0 , με λύ- σεις x = 2 , x = −1 , που είναι αμφότερες δεκτές. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 16 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί, θα πρέπει να είναι λύσεις της εξίσωσης x 2 − (−10)x + 16 = 0 ⇔ x 2 + 10x + 16 = 0 . Η εξίσωση αυτή όντως έχει λύσεις, αφού έχει διακρίνουσα Δ = 102 − 4 ⋅1 ⋅16 = 100 − 64 = 36 > 0 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 17 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί, θα πρέπει να είναι λύσεις της εξίσωσης x 2 − 10x + 25 = 0 . Η εξίσωση αυτή γράφεται (x − 5)2 = 0 , από όπου προκύπτει x − 5 = 0 ⇔ x = 5 (διπλή ρίζα). - 81 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Απάντηση κατανόησης – Ισχυρισµός 18 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί, θα πρέπει να είναι λύσεις της εξίσωσης x 2 − 2x + 2 = 0 . Η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη όμως, αφού έχει διακρίνουσα Δ = (−2)2 − 4 ⋅1 ⋅ 2 = 4 − 8 = −4 < 0 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. Οµάδα ΙΙ, σελίδα 97

Απάντηση κατανόησης – Συλλογισµός 1 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το λάθος είναι η διαγραφή του παράγοντα x + 2 από τα δύο μέλη της εξίσωσης. Προκειμένου να γίνει αυτή η διαγραφή, πρέπει να ελέγξουμε αν μπορεί να είναι x + 2 = 0 και τι προκύπτει τότε στην εξίσωση. Εδώ, αν είναι x + 2 = 0 , από την εξίσωση προκύπτει 0 = 0 , που προφανώς ισχύει. Άρα, επειδή μπορεί να είναι x + 2 = 0 , δεν μπορεί να γίνει διαγραφή αυτού του πα- ράγοντα από τα δύο μέλη της εξίσωσης.

Απάντηση κατανόησης – Συλλογισµός 2 από «ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-Ερωτήσεις κατανόησης». Η ερώτηση βρίσκεται στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό· εδώ διατίθεται η απάντηση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το λάθος είναι ότι δεν τέθηκε ο απαραίτητος περιορισμός x − 2 ≥ 0 , επειδή είναι 2x − 1 ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! . - 82 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr