Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης – Κατηγορία 31

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 + 1 και τα σημεία A(2 , 9) , B(1,− 3) . Να δείξετε ότι η ΑΒ εφάπτεται της C f στο Α.

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) = x 2 + αx + β , x ∈ ! , α , β ∈ ! . Αν η ευθεία ε : y = 2x εφάπτεται της C f στο σημείο της M(2 , 4) , να δείξετε ότι: α) είναι f(2) = 4 , f ′(2) = 2 . β) είναι α = −2 , β = 4 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 − 2x 2 και η ευθεία ε : y = −x . Να δείξετε ότι η (ε) εφά- πτεται στην C f .

α Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x 2 − 3x , g(x) = , α ∈ ! * . Να βρείτε το α, ώστε x η εφαπτομένη της C f στο σημείο A (1, f(1)) να εφάπτεται και της C g .

Αν f(x) = α ⋅ ℓnx + βx 2 + 3 , να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε η ευθεία ε : 2x − y + 4 = 0 να είναι εφαπτόμενη της C f στο σημείο της A (1, f(1)) .

Να βρείτε τον α ∈ ! , ώστε η συνάρτηση f, με f(x) = α x , να έχει εφαπτομένη την ευ- θεία ε : y = x .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι συναρτήσεις x −1 f(x) = αx + , g(x) = 2x 2 + (4α + β)x + α , α , β ∈ ! . x α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C f στο σημείο A(1,1) . β. Να βρεθεί η τιμή του β, ώστε η (ε) να εφάπτεται και στην C g .

Έστω η συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) = x 2 + αx + β , με α , β ∈ ! . Να βρεθούν τα α, β, ώστε η ευθεία ε : y = 2x + 5 να εφάπτεται της C f στο A (−1, f(−1)) .

Να βρείτε τις τιμές του α ∈ ! , αν υπάρχουν, για τις οποίες η ευθεία y = 2x + 1 εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με f(x) = x 2 + 2αx + 1 .

Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο ! και θεωρούμε και την συνάρτηση g, με g(x) = f(e x−1 + 2x) , x ∈ ! . Αν η ευθεία ε : y = 2x − 2 εφάπτεται της C f στο σημείο της A (3 , f(3)) , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο σημείο της B (1, g(1)) .

Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = 4x − 4 είναι εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = x 3 + x − 2 και να βρείτε το σημείο επαφής.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να δείξετε ότι η ευθεία y = x δεν εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτη- σης f(x) = x 3 − 2x .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω οι συναρτήσεις ℓn(x − 2) f(x) = − 1 , με x > 2 , και g(x) = x 2 + 3x + λ , με x ∈ ! , λ ∈ ! . x −2 Να βρείτε: α. την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C f στο σημείο της με τετμημένη 3. β. για ποια τιμή του λ, αν υπάρχει, η ευθεία (ε) του ερωτήματος (α) εφάπτεται και στην γραφική παράσταση της g.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι συναρτήσεις 4α f(x) = x 2 − 3x , g(x) = ,α∈!. x α. Να βρείτε την εφαπτομένη (ε) της C f στο σημείο της A (1, f(1)) . β. Να βρεθεί ο α, ώστε η (ε) να εφάπτεται και στην C g .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι συναρτήσεις x2 − 8 f(x) = , g(x) = x 2 − 4x + λ . x+2 Να βρείτε το λ ∈ ! , ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο M (0 , f(0)) να εφάπτεται και στην C g .

Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = −x εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτη- σης f(x) = x 3 − 6x 2 + 8x . Στην συνέχεια, να βρείτε το σημείο επαφής και να εξετάσετε αν η ευθεία επανατέμνει την C f .

Έστω f μια παραγωγίσιμη στο ! συνάρτηση, για την οποία ισχύει f ′(2) = 1 , και g η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα g(x) = f(e x + 1) − 2 , x ∈ ! . Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο A (2 , f(2)) εφάπτεται της C g στο σημείο B (0 , g(0)) .

Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : y = 6x − 4 εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x 3 + 2x 2 − x .

1 3 4 Αν f(x) = x − 4ℓnx , να δείξετε ότι η ευθεία ε : y = 2x − − 4ℓn2 εφάπτεται της 3 3 C f και να βρείτε το σημείο επαφής.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 4x 2 + (4α + 2)x − 4α − 1 . α. Να αποδείξετε ότι η C f διέρχεται από σταθερό σημείο Α, για κάθε α ∈ ! . β. Να βρείτε για ποια τιμή του α ∈ ! η ευθεία ε : y = 2x + 3 εφάπτεται της C f στο σημείο Α.

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι παραγωγίσιμη και, για κάθε x ∈ ! , ισχύει g(x) = (x 2 − x + 2) ⋅ f(x) . Αν η ευθεία ε : 3x − y − 1 = 0 εφάπτεται της C f στο σημείο A (2 , f(2)) , βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο B (2 , g(2)) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x 2 + αx , g(x) = x 2 + β , α , β ∈ ! . Η ευθεία με εξίσωση ε : y = 2x είναι κοινή εφαπτομένη των C f , C g . α. Να βρείτε τους αριθμούς α και β. β. Να αποδείξετε ότι οι C f , C g έχουν και άλλη κοινή εφαπτομένη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x 2 − (α + 4)x + 4 και οι ευθείες ε : y = (α − 2)x − (α − 1)(α + 3) , α ∈ ! . α. Να δείξετε ότι, για κάθε α ∈ ! , οι ευθείες εφάπτονται στην γραφική παράσταση κάθε συνάρτησης. β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων επαφής των παραπάνω ευθειών.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι συναρτήσεις 1 x x ( ) 2 f(x) = e + e−x , g(x) = 4συν2 − x2 − 2 . 2 2 α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C f στο σημείο A (0 , f(0)) . β. Να δείξετε ότι: Ι. η ευθεία (ε) εφάπτεται της C g . ΙΙ. για x ≠ 0 , η (ε) βρίσκεται κάτω από την C f και πάνω από την C g . ΙΙΙ. οι C f , C g έχουν μοναδικό κοινό σημείο.