Ε9-Π2-εξώφυλλο

Να δείξετε ότι η εξίσωση ηµx = 2 − 2x έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα ⎛π π ⎞⎟ ⎜⎜ , ⎟⎟ . ⎜⎝ 6 4 ⎟⎠

Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις f , g : ⎡⎢α , β⎤⎥ → ! , για τις οποίες ισχύει ⎣ ⎦ f(x) g(x) f(α) ⋅ g(β) > 0 . Να δείξετε ότι η εξίσωση + = 0 έχει μία, τουλάχιστον, λύση x −α x−β στο (α , β) .

Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, που είναι συνεχείς στο ⎡⎢α , β⎤⎥ . Αν είναι f(α) > g(α) και ⎣ ⎦ f(β) < g(β) , να δείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται τουλάχιστον μία φορά στο (α , β) .

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f, με την ιδιότητα f(α) ⋅ f(β) + αβ < α ⋅ f(β) + β ⋅ f(α) . Να δείξετε ότι η γραφική της παράσταση τέμνει την διχοτόμο της γωνίας xOy σε ένα, τουλάχιστον, σημείο στο διάστημα (α , β) .

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και ισχύει f(α) ≠ f(β) , να δείξετε ότι υπάρ- ⎣ ⎦ f(α) + f(β) χει x 0 ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε f(x 0 ) = . 2

Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο ⎡⎢α , β⎤⎥ , με α > 0 . Να δείξετε ότι ⎣ ⎦ f(ξ) α β υπάρχει, τουλάχιστον ένα, ξ ∈ (α , β) , ώστε = + . ξ α−ξ β−ξ

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢0 ,1⎤⎥ → ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x έχει ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . ⎣ ⎦

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο ⎡⎢α , β⎤⎥ και ισχύουν f(α) ≤ g(α) και ⎣ ⎦ f(β) ≥ g(β) , να δείξετε ότι υπάρχει x 0 ∈ ⎡⎢α , β⎤⎥ τέτοιο, ώστε f(x 0 ) = g(x 0 ) . ⎣ ⎦

Να δείξετε ότι η εξίσωση x 5 + 3x + 1 = 0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (−1, 0) .

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ⎡⎢1, 5⎤⎥ → ! . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ⎣ ⎦ 3f(2) + 5f(3) + 7f(4) x 0 ∈ ⎡⎢1, 5⎤⎥ τέτοιο, ώστε f(x 0 ) = . ⎣ ⎦ 15 Η άσκηση και η λύση της προέρχονται από το βιβλίο του Βασίλη Παπαδάκη, «Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου, θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης», τόμος Γ1, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012.

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0 , 4) , να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ ∈ (0 , 4) τέτοι- ος, ώστε f(1) + 2f(2) + 3f(3) = 6f(ξ) . Η άσκηση και η λύση της προέρχονται από το βιβλίο των Χαρ. Στεργίου, Χρ. Νάκη, Ιωάν. Στεργίου, «Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου, θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης», τόμος Γ1, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012.

Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f : ! → ! , που ικανοποιούν την σχέση f 2 (x) − 4f(x) + 3 = 0 , για κάθε x ∈ ! . Η άσκηση και η λύση της προέρχονται από το βιβλίο των Χαρ. Στεργίου, Χρ. Νάκη, Ιωάν. Στεργίου, «Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου, θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης», τόμος Γ1, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Πρόσεξε πολύ το σχόλιο που είναι μετά την λύση!