Ε5-Π4-εξώφυλλο

Αν ισχύει (1 − συνx)2 ≤ f(x) − 2 ≤ x 2 , για κάθε x ∈ ! , βρείτε το ℓ im f(x) . x→ 0

Αν ισχύει f(x) − 3x + 5 ≤ x 2 , για κάθε x ≠ 0 , να βρείτε το ℓ im f(x) . x→ 0

Αν ισχύει ηµx − x 2 ≤ f(x) ≤ ηµx + x 2 , για κάθε x ∈ ! , να βρείτε τα όρια: f(x) f(x) + 2x α. ℓ im . β. ℓ im . x→ 0 x x→ 0 x + ηµx

⎛ 1⎞ Να βρείτε το ℓ im ⎜⎜⎜x 2 + x ⋅ συν ⎟⎟⎟ . x→ 0 ⎝ x ⎟⎠

⎛ 1⎞ Να βρείτε το ℓ im ⎜⎜⎜ηµx ⋅ συν ⎟⎟⎟ . x→ 0 ⎝ x ⎠⎟

⎛ x2 1 ⎞⎟ Να βρείτε το ℓ im ⎜⎜ ⎜ ⋅ συν ⎟⎟ . x→ 0 ⎜ ⎝ x + 1 −1 x ⎟⎟⎠

Θεωρούμε την συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει x ⋅ f(x) + συνx ≤ 1 , για κάθε x ∈ ! . Αν είναι ℓ im f(x) = ℓ , να βρείτε το ℓ . x→ 0

Αν για την συνάρτηση f ισχύει f 2 (x) + συν2x ≤ 2f(x) , για κάθε x ∈ ! , να βρείτε το ℓ im f(x) . x→ 0

Δίνεται συνάρτηση f, για την οποία ισχύει ότι x + ηµx ≤ x ⋅ f(x) ≤ 3x − ηµx , για κάθε x κοντά στο x 0 = 0 . Να βρεθεί το ℓ im f(x) . x→ 0

Δίνεται συνάρτηση f, για την οποία ισχύει ότι (x − 2) ⋅ f(x) ≤ x + 2 − 2 , για κάθε x κοντά στο x 0 = 2 . Εάν είναι γνωστό ότι υπάρχει το ℓ im f(x) , να υπολογιστεί. x→ 2

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Για τις συναρτήσεις f, g δίνεται ότι f 2 (x) + g 2 (x) = 2x ⋅ f(x) , σε μια περιοχή του x 0 = 0 . Να δειχθεί ότι υπάρχουν τα ℓ im f(x) και ℓ im g(x) και να βρεθούν. x→ 0 x→ 0

Αν ισχύει f(x) − 2x ≤ (x − 5)2 , για κάθε x ∈ ! , να αποδειχθεί ότι ℓ im f(x) = f(5) . x→ 5

Έστω συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε x 5 ≤ f(x) ≤ x 6 + 3x 4 , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε τα: f(x) f(x) α. ℓ im f(x) . β. ℓ im . γ. ℓ im . x→ 0 x→ 0 x2 x→ 0 x

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν για την συνάρτηση f ισχύει f 2 (x) − 2f(x) + συν2x ≤ 0 , για κάθε x ∈ ! , να αποδειχθεί ότι ℓ im f(x) = 1 . x→ 0

Αν ισχύει 2 x + 2 ≤ f(x) ≤ x + 3 , για κάθε x ≥ −2 , να υπολογίσετε τα όρια: f(x) − 2 2f 2 (x) − 8 α. ℓ im f(x) . β. ℓ im . γ. ℓ im 2 . x→−1 x→−1 x +1 x→−1 x + 3x + 2

⎛ π⎞ Έστω συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε 1 − x ⋅ ηµx < f(x) < συνx , για κάθε x ∈ ⎜⎜⎜0 , ⎟⎟⎟ . ⎝ 2 ⎟⎠ f(x) − 1 α. Να βρείτε το ℓ im . x→ 0+ x β. Αν ισχύει ℓ im f(x) = f(0) , να βρείτε το ℓ im f(x) . x→ 0 x→ 0−

f(x) Έστω συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε ℓ im = 2. x→ 0 x α. Να βρείτε το ℓ im f(x) . x→ 0 β. Να αποδείξετε ότι ισχύει x ⋅ f(x) > 0 , κοντά στο 0. γ. Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύει x ⋅ f(x) ⋅ g(x) − x 2 ≤ x 2f 2 (x) , κοντά στο 0, βρείτε το ℓ im g(x) . x→ 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 5 x −7 −7 α. Δίνεται η συνάρτηση g, με τύπο g(x) = και πεδίο ορισμού A = ! * . x Να αποδείξετε ότι ℓ im g(x) = 0 . x→ 0 β. Έστω συνάρτηση f : ! → ! . Αν η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο, να αποδείξετε ότι ⎡ x5 − 7 − 7 ⎤ ⎢ ⎥ ℓ im ⎢ ⋅ f(x)⎥ = 0 . x→ 0 ⎢ x ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥

Έστω γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε f −1 (x) ≤ x , για κάθε x ∈ ! , και ℓ im f 2 (x) = 1 . x→1 α. Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ x , για κάθε x ∈ ! . y2 + 1 β. Να αποδείξετε ότι y ≤ , για κάθε y ∈ ! . 2 γ. Να βρείτε το ℓ im f(x) , αν είναι γνωστό ότι υπάρχει. x→1

Για την συνάρτηση f ισχύει 2 2x ≤ f(x) ≤ x + 2 , για κάθε x ≥ 0 . Να βρείτε τα: f(x) − 4 f(x) − 4 α. ℓ im . β. ℓ im . x→ 2 x −2 x→ 2 x + 2 −2 f(x) + 1 − 5 f(x) − 1 − 3 γ. ℓ im . δ. ℓ im . x→ 2 x −2 x→ 2 x2 − 4

Η συνάρτηση f έχει πραγματικό όριο στο x 0 = 2 και ισχύει (x − 2) ⋅ f(x) ≤ x 2 − 7x + 10 , για κάθε x ∈ ! . Να βρεθεί το ℓ im f(x) . x→ 2

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Για την συνάρτηση f : ! → ! ισχύει x 2 + 2x ⋅ f(x) ≤ f 2 (x) + ηµ2x ≤ 2x ⋅ f(x) + ηµ2x , για κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι ℓ im f(x) = 0 = f(0) . x→ 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν ℓ im ⎡⎢12f(x) − 4f 2 (x)⎤⎥ = 9 , να βρεθεί το ℓ im f(x) . x→ 3 ⎣ ⎦ x→ 3

f(x) + x Αν ℓ im = 2 , να βρεθεί το ℓ im f(x) . x→ 3 x −3 x→ 3