Ε5-Π1-εξώφυλλο

f 2 (x) − f(x) − 2 Αν είναι ℓ im f(x) = 2 , να βρείτε το ℓ im . x→1 x→1 f(x) − 2

f(x) − 3 − 1 Αν είναι ℓ im f(x) = 2 , να βρείτε το ℓ im . x→ 0 x→ 0 4 − f 2 (x)

x ⋅ f(x) + ηµ3x Αν είναι ℓ im f(x) = 6 , να βρείτε το ℓ im . x→ 0 x→ 0 x 2 − ηµx

f(x) x ⋅ f(x) − ηµ2x Αν είναι ℓ im = 4 , να βρείτε το ℓ im . x→ 0 x x→ 0 x2 + 4 − 2

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με την ιδιότητα f 3 (x) + f(x) ⋅ ηµ2x = 2x 2ηµx , για κάθε f(x) x ∈ ! . Να βρείτε το ℓ im . x→ 0 x

Αν είναι ℓ im f(3x − 1) = 7 , να βρείτε το ℓ im f(x) . x→ 2 x→ 5

f(x) f(3x) Αν είναι ℓ im = 2 , να βρείτε το ℓ im . x→ 0 x x→ 0 x

Για την συνάρτηση f ισχύουν f(x) = f(x + 3) , για κάθε x ∈ ! , και ℓ im f(x) = 2 . x→1 Να βρείτε το ℓ im f(x) . x→−2

Αν είναι ℓ im f(x) = ℓ ∈ " και ℓ im ⎡⎢ f(x) + 3f(2 − x)⎤⎥ = 8 , να βρείτε το ℓ . x→1 x→1 ⎣ ⎦

Λυμένο παράδειγμα 128 από «Ε5-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας υποθέσουμε ότι είναι ℓ im f(x) = 5 , για κάποια συνάρτηση f : ! → ! , και ας δούμε x→ 2 τι πρέπει να κάνουμε για να βρούμε το ℓ im f(x) κατά περίπτωση. x→−2 α) Η f είναι άρτια ➊ Αφού η f είναι άρτια, ισχύει f(−x) = f(x) , για κάθε x ∈ ! . ➋ Τότε από το ℓ im f(x) = 5 έχω ότι ℓ im f(−x) = 5 . x→ 2 x→ 2 ➌ Θέτω −x = y . Όταν x → 2 , τότε y → −2 και από το ℓ im f(−x) = 5 έχω ότι x→ 2 ℓ im f(y) = 5 ⇔ ℓ im f(x) = 5 . y→−2 x→−2 - 406 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 5η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Θεωρητικά” θέµατα ορίων: όριο συνάρτησης σε σηµείο β) Η f είναι περιττή ➊ Αφού η f είναι περιττή, ισχύει f(−x) = −f(x) ⇔ f(x) = −f(−x) , για κάθε x ∈ ! . ➋ Τότε από το ℓ im f(x) = 5 έχω ότι x→ 2 ℓ im ⎡⎢−f(−x)⎤⎥ = 5 ⇔ −ℓ im f(−x) = 5 ⇔ ℓ im f(−x) = −5 . x→ 2 ⎣ ⎦ x→ 2 x→ 2 ➌ Θέτω −x = y . Όταν x → 2 , τότε y → −2 και από το ℓ im f(−x) = −5 έχω ότι x→ 2 ℓ im f(y) = −5 ⇔ ℓ im f(x) = −5 . y→−2 x→−2 Σχόλια στο παράδειγμα 128 1. Αν εμφανιστεί αυτό το θέμα σε κάποια άσκηση, σχεδόν σίγουρα ο αριθμός x 0 θα έχει συγκεκριμένη τιμή, όπως επίσης και το αποτέλεσμα του ορίου, το ℓ δηλαδή. Όπως είδες στο παράδειγμα, όπου x 0 έβαζα 2 και όπου ℓ έβαζα 5. 2. Συνήθως δίνεται ότι η f είναι άρτια ή περιττή (βέβαια, δεν αποκλείεται πρώτα να ζητείται να δειχθεί ότι είναι άρτια ή περιττή και μετά να τεθεί το θέμα του ορίου). Όπως και να έχει το θέμα, οι δύο αυτές λέξεις σημαίνουν συναγερμό και όσα αναπτύχ- θηκαν νωρίτερα είναι 99% βέβαιο ότι θα γίνουν (φυσικά, αν υπάρχει ανάγκη εύρεσης του ορίου της f στον αντίθετο αριθμό). - 407 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Αν ℓ im f(x) = 1 , να βρεθούν τα όρια: x→1 2f 2 (x) + f(x) − 3 f(x) + 3 − 2 α. ℓ im . β. ℓ im , x→1 f 2 (x) − 1 x→1 f(x) − 1 με f(x) ≠ 1 κοντά στο x 0 = 1 σε κάθε περίπτωση.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f(x + y) = f(x) ⋅ f(y) , για κάθε x , y ∈ ! , με f(0) ≠ 0 και ℓ im f(x) = 1 . Να δειχθεί ότι: x→ 0 α. f(0) = 1 . β. ℓ im f(x) = f(x 0 ) . x→ x0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f(xy) = f(x) + f(y) , για κάθε x , y ∈ ! * , και ℓ im f(x) = 0 . Να δειχθεί ότι: x→1 α. f(1) = 0 . β. ℓ im f(x) = f(x 0 ) . x→ x0

f(x) f(x 2 + x) Έστω συνάρτηση f : ! → ! , με ℓ im = 1 . Να υπολογίσετε το ℓ im , x→ 0 x x→ 0 x2 − x εφόσον υπάρχει.

Έστω μια συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f 3 (x) − x ⋅ f 2 (x) + x 2f(x) = x 2ηµx , x ∈ ! . f(x) Να βρείτε τα ℓ im f(x) , ℓ im , αν είναι γνωστό ότι υπάρχουν. x→ 0 x→ 0 x

f(x) Έστω συνάρτηση f, ώστε ℓ im =3. x→ 0 x f(νx) α. Να αποδείξετε ότι ℓ im = 3ν , ν ≠ 0 . x→ 0 x β. Αν ισχύει f 2 (νx) + ηµ2x ≤ 2f(νx) ⋅ ηµx , για κάθε x ∈ ! , να δείξετε ότι 3ν = 1 .

Έστω συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f(x + y) = f(x) + f(y) , για κάθε x , y ∈ ! . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή. β. Αν ισχύει ℓ im f(x) = 0 , να αποδείξετε ότι ℓ im f(x) = f(α) , για κάθε α ∈ ! . x→ 0 x→ α f(x) f(x − 2) γ. Αν ισχύει ℓ im = 2012 , να αποδείξετε ότι ℓ im = 2012 και ότι x→ 0 x x→ 2 x −2 f(ηµx) − ηµf(x) ℓ im = 0. x→ 0 x

f(x) 2f(x) − x Αν ℓ im = 3 , να βρεθεί το ℓ im 2 . x→ 0 x x→ 0 x + 3x

f(x) x ⋅ f(3x) − f(−x) ⋅ ηµ2x Αν ℓ im = 2 , να βρείτε το ℓ im . x→ 0 x x→ 0 3x 2 − ηµ2x

Αν ℓ im f(x) = 4 και f(x) ≠ 4 , για κάθε x ∈ ! , να βρείτε τα: x→−2 f(x) + x − 2 2f 2 (x) − 7f(x) − 4 α. ℓ im . β. ℓ im . x→−2 x −2 x→−2 f 2 (x) − 16 f(x) − 2 f(x) − 4 γ. ℓ im . δ. ℓ im . x→−2 3f(x) − 12 x→−2 f 2 (x) − 16

Αν ℓ im f(5 + h) = 10 , να βρεθεί το ℓ im ⎡⎢ f(x) − 2⎤⎥ . h→ 0 x→ 5 ⎣ ⎦

f(x) f(αx) α. Αν ℓ im = d ∈ " , να δείξετε ότι ℓ im = αd , για κάθε α ∈ ! * . x→ 0 x x→ 0 x f(x) β. Αν f : ! → ! συνάρτηση, με ℓ im = 3 , να βρείτε το x→ 0 x 2x ⋅ f(x) + f(−2x) ⋅ ηµx ℓ im . x→ 0 x 2 − 3ηµ2x

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , με ℓ im f(2 + h) = 4 . Να βρείτε τα: h→ 0 α. ℓ im f(x) . β. ℓ im ⎡⎢ f(x) − 4⎤⎥ . x→ 2 x→ 2 ⎣ ⎦

Δίνεται συνάρτηση f : ! → (−1, + ∞) , για την οποία ισχύει ℓ im f(x) = 3 . Να βρείτε το x→ 2 f(x) − 2 − f 2 (x) − 5f(x) + 5 ℓ im . x→ 2 f(x) + 1 − 2