Ε1-Π8-εξώφυλλο

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει (x − 2) ⋅ f(x − 3) − (x − 3) ⋅ f(x) = 1 , για κάθε x ∈ ! . α. Να βρείτε τις τιμές f(0), f(2). β. Να εξετάσετε αν η f είναι 1­1. Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά κατεύθυνσης, 2016-2017. - 204 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων

x2 − 1 Να αποδείξετε ότι δεν είναι 1­1 η συνάρτηση f(x) = , x∈!. x2 + 1 Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά κατεύθυνσης, 2016-2017.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f , g : ! → ! . Αν η f o g είναι 1­1, να δείξετε ότι και η g είναι 1­1.

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει (f ! f)(x) + f 3 (x) = 3x − 2 , για κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι η f είναι 1­1. Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά κατεύθυνσης, 2016-2017.

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , η οποία ικανοποιεί την σχέση f (f(x)) + f 3 (x) = 2x + 3 , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι είναι 1­1 και να λύσετε την εξίσωση f(2x 3 + x) = f(4 − x) . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά κατεύθυνσης, 2016-2017.

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε να ισχύει f 3 (x) + f(x) = 27x 3 + 8 , για κάθε x∈!. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1­1. β. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0 . γ. Να λυθεί η εξίσωση f(ℓn2x) = f(2ℓnx + 3) . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά κατεύθυνσης, 2016-2017.

Να δειχθεί ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν είναι 1­1: α. f(x) = (x − 1)(x + 6) + 2 . β. f(x) = x 2 − 2x + 3 . γ. f(x) = x 4 . δ. f(x) = x 2 − x + 6 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2 − x − ℓnx . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = f(1) . γ. Να λύσετε την ανίσωση x + ℓnx > 1 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x−1 + x + 2 . α. Να αποδείξετε ότι είναι 1­1. β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 4 . γ. Να λύσετε την ανίσωση e x−1 + x > 2 .

Μια συνάρτηση f : ! → ! έχει την ιδιότητα (f ! f)(x) + 3f(x) = x 3 . Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

Η γραφική παράσταση μιας μονότονης συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία A(5, 9) και B(2 , 3) . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ( β. Να λύσετε την εξίσωση f 3 + f −1 (x 2 + 2x) = 9 . )

Για μία συνάρτηση f ισχύει f (f(x)) = f(x) + 2x − 2 . Να αποδείξετε ότι αυτή είναι 1­1.

Η γραφική παράσταση μιας μονότονης συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία A(5, 9) και B(3 , 2) . α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. ( β. Να λύσετε την εξίσωση f 2 + f −1 (x 2 + x) = 9 . ) ( γ. Να λύσετε την ανίσωση f f −1 (x 2 − 8x) < 2 . )

Έστω f , g : ! → ! δύο 1­1 συναρτήσεις. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f o f, f o g, g o f, g o g είναι 1­1.

Έστω f : A → ! και g : f(A) → ! δύο συναρτήσεις. Αν η g o f είναι 1­1, να αποδείξετε ότι η f είναι 1­1.

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , με f (f(x)) = x 2 − x + 1 . α. Να αποδείξετε ότι f(1) = 1 . β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = x 2 − x ⋅ f(x) + 1 δεν είναι 1­1.

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g , h : ! → ! , η f είναι 1­1 και ισχύει f ! g = f ! h . Να απο- δείξετε ότι g = h .

Έστω η συνάρτηση f, ορισμένη στο ! και με σύνολο τιμών το ! . Αν, για κάθε x ∈ ! , ισχύει f (f(x)) = x + f(x) , τότε να αποδείξετε ότι: α. η f είναι αντιστρέψιμη. β. f(0) = 0 . γ. f(x) = x + f −1 (x) , x ∈ ! .

Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , με την ιδιότητα f 5 (x) + 3f(x) = ℓn(2x + 1) , για κάθε x > 0 . Να δείξετε ότι η f είναι 1­1 στο (0 , + ∞) .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 + x . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1­1. ( ) + e = ( x + 1) + 1 . 3 3 β. Να λύσετε την εξίσωση e x + x x

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , με f (f(x)) = x 2 − 5x + 9 και g(x) = x 2 − x ⋅ f(x) + 3 , για κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι: α. f(3) = 3 . β. η g δεν είναι 1­1.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓnx + x . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1­1. x +1 β. Να λύσετε την εξίσωση ℓn 2 = x2 − x . x +1

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! * , για την οποία ισχύει (f ! f)(x) = (x − 2) ⋅ f(x) , για κάθε x∈!. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1­1. β. Να βρείτε την τιμή f(3). ( γ. Να λύσετε την εξίσωση f x + 1 − f x − 1 ( ) ) − f(x − 2) = 0 .

Να βρεθούν τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = 2x − 1 και της αντίστροφής της.