Ε1-Π3-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 33 από «Ε1-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: συνx Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . Θα εξετάσω αν είναι άρτια. 25 − x 2 1ο βήμα Για να ορίζεται η f, πρέπει 25 − x 2 > 0 ⇔ x 2 − 25 < 0 ⇔ x ∈ (−5, 5) . Άρα είναι Df = (−5, 5) , οπότε για κάθε x ∈ Df , και το −x ∈ Df . 2ο βήμα συν(−x) συνx Είναι f(−x) = = = f(x) . 25 − (−x)2 25 − x 2 Επομένως, η f είναι άρτια συνάρτηση.

Λυμένο παράδειγμα 34 από «Ε1-Π3-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x2 + 3 x Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . Θα εξετάσω αν είναι περιττή. x 3 − 9x 1ο βήμα Για να ορίζεται η f, πρέπει x 3 − 9x ≠ 0 ⇔ x(x 2 − 9) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 και x 2 − 9 ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 και x 2 ≠ 9 ⇔ ⇔ x ≠ 0 και x ≠ 3 και x ≠ −3 . Άρα είναι Df = (−∞ ,− 3) ∪ (−3 , 0) ∪ (0 , 3) ∪ (3 , + ∞) , οπότε για κάθε x ∈ Df και το −x ∈ Df . 2ο βήμα (−x)2 + 3 −x x2 + 3 x x2 + 3 x Είναι f(−x) = = =− = −f(x) . (−x)3 − 9(−x) −x 3 + 9x x 3 − 9x Επομένως, η f είναι περιττή συνάρτηση. ❖ Θέµα 2o Aν πρέπει να αποδείξεις ότι η f είναι περιττή, τότε: 1ο βήμα Βρες το πεδίο ορισμού και απόδειξε ότι για κάθε αριθμό αυτού ο αντίθετός του επί- σης περιλαμβάνεται σε αυτό (αυτό είναι συνήθως τυπικό βήμα, το οποίο προκύπτει από την μορφή του πεδίου ορισμού). 2ο βήμα Απόδειξε ότι ισχύει f(−x) = −f(x) , για κάθε x του πεδίου ορισμού. ❖ Θέµα 3o Αν δίνεται ότι η f είναι περιττή, τότε σίγουρα θα ισχύει η πρώτη προϋπόθεση του ορι- σμού, οπότε αυτό που αξιοποιείται στην άσκηση είναι η σχέση f(−x) = −f(x) . Συνήθως αξιοποιείται θέτοντας στην θέση του x κατάλληλο αριθμό, τον οποίο η άσκη- ση πολλές φορές «φωτογραφίζει». Σε επόμενα θέματα του κεφαλαίου, όπως επίσης και στα επόμενα κεφάλαια, θα δεις και πώς αλλιώς αξιοποιείται το να είναι μία συ- νάρτηση περιττή (είναι πολύ χαρακτηριστικοί οι τρόποι). - 88 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις, να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές: 2 α. f(x) = x 2 + 2 . β. f(x) = 2x 3 + 7 . γ. f(x) = e x συν2x . 1− x δ. f(x) = ℓn . ε. f(x) = x + 1 + x − 1 . στ. f(x) = x 3 + 2ηµx . 1+ x 2x − 1 ζ. f(x) = 4 x − 1 . η. f(x) = . x +1

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! . 1 ⎡ α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = ⋅ f(x) + f(−x)⎤⎥ , x ∈ ! , είναι άρτια. 2 ⎣⎢ ⎦ 1 ⎡ β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = ⋅ f(x) − f(−x)⎤⎥ , x ∈ ! , είναι περιττή. 2 ⎣⎢ ⎦ γ. Να δείξετε ότι η f γράφεται ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτη- σης. δ. Να γράψετε την συνάρτηση K(x) = x 2 − 2x − 3ηµx + 1 ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης.

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με την ιδιότητα f(x + y) = x ⋅ f(y) + y ⋅ f(x) , για κάθε x , y ∈ ! . Να δείξετε ότι: α. f(0) = 0 . β. η f είναι άρτια.

Για την συνάρτηση f : ! → ! ισχύει ότι x ⋅ ⎡⎢ f(x) + f(−x) + 2⎤⎥ + 2f(−x) = 0 , για κάθε ⎣ ⎦ x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή και να βρείτε τον τύπο της.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f : ! → ! είναι περιττή και ισχύει f(x) ⋅ (x 2 + 2) ≤ 2x , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε τον τύπο της.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = ℓn x + 1 + x 2 ( ) είναι περιττή.