ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ-30 επαναληπτικές ασκήσεις (εξώφ)

!" " !" " 2π Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = 2 , β = 1 , τα οποία σχηματίζουν γωνία . !" !" " !" !" " 3 Θεωρούμε και τα διανύσματα u = 2α + 4β , v = α − β . Να βρείτε: !" " α. το α ⋅ β . !" !" β. τα μέτρα των u και v . !" !" γ. το γινόμενο u ⋅ v . !" !" δ. το συνημίτονο της γωνίας των u και v . !" !" !" !" " ε. τον αριθμό x, ώστε να ισχύει v ⊥ w , όπου w = xα + β .

!" " !" " π Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = 1 , β = 2 και μεταξύ τους γωνία . Να υπολο- 3 γίσετε τα εξής: !" " α. το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α , β και κατόπιν την παράσταση !" 2 !" " α + α ⋅ 2β . ( ) !" " ! "! β. το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α − 2β και β + 2α .

!" " !" " Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = (1, 2) , β = (2 , 3) . ! "! ! α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος γ = 5α − 3β . ! β. Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει το γ με τον άξονα x΄x. !" !" !" 2 γ. Αν v = (κ − κ , κ) , τότε να βρείτε την τιμή του κ ∈ ! , ώστε v ⊥α .

!" " !" " 2π Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = 2 , β = 3 και γωνία . Έστω το τρίγωνο !!!" !" " !!!" !" " 3 ΑΒΓ, για το οποίο ισχύουν ΑΒ = 2α − β , ΑΓ = 4α + 3β . !" " α. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α ⋅ β . !!!" !" " β. Αν Μ το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΑΜ = 3α + β . !!!" !" γ. Να βρείτε την γωνία των διανυσμάτων ΑΜ και α .

!" " " !" " ! "! ! Δίνονται τα διανύσματα α , β , γ , με α = (1,− 3) , β = (1, 2) και γ = α + 4β . !" " ! α. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α ⋅ β και τις συντεταγμένες του γ . ! β. Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει το γ με τον άξονα x΄x. !" !" !" 2 γ. Αν u = (λ − 4 , − λ) , να βρείτε το λ ώστε u ⊥ α .

!" " !" " !" " Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α − β = (1,− 2) και 3α + β = (7 , 6) . Να βρείτε: !" " α. τις συντεταγμένες των διανυσμάτων α , β . !" " !" " β. τον πραγματικό αριθμό κ, ώστε τα διανύσματα κα + β και α − β να είναι παράλ- ληλα μεταξύ τους. !" " γ. τον πραγματικό αριθμό x, ώστε α + xβ = 5 .

!!!" !" Έστω το σημείο Α(−1, 2) και τα διανύσματα ΑΒ = (3 ,− 3) , v = (20 ,13) , !" u = (µ − 1 , 2) . α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β. !!!" β. Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα ΑΒ με τον άξονα x΄x. !!!" !" γ. Να εξετάσετε αν τα διανύσματα ΑΒ , v είναι κάθετα μεταξύ τους. !!!" !" δ. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ, αν ΑΒ / / u .

!" " !" " π Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = 1 , β = 2 και γωνία . Να βρείτε: !" " 3 α. το α ⋅ β . !" " !" " β. τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε τα διανύσματα α + β , 5α − λβ να είναι κάθετα μεταξύ τους. !" " γ. το α + β .

!" " !" " π Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = 1 , β = 2 και γωνία . Να βρείτε: !" " 3 α. το α ⋅ β . !" " !" " !" ( β. τον πραγματικό αριθμό x, ώστε να ισχύει α + xβ ⋅ α − xβ = 12 . " )( ) γ. το α − 4β .

!" ! !" " Δίνονται τα διανύσματα α = (3 ,− 4) και β , με α ⋅ β = 5 και μεταξύ τους γωνία ίση με π . 3 !" α. Να αποδείξετε ότι α = 5 . ! β. Να βρείτε το μέτρο του β . !" !" !" " γ. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α και u = α − 5β είναι μεταξύ τους κάθετα. ! !" δ. Να βρείτε το διάνυσμα γ = (12 , λ) , το οποίο να είναι παράλληλο στο α .

!" " !" " π Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = 1 , β = 2 και μεταξύ τους γωνία . Θεωρούμε !" !" " !" !" " 3 και τα διανύσματα u = 2α + 3β , v = α − 2β . Να βρείτε: !" " !" !" !" !" α) το α ⋅ β . β) τα μέτρα των u , v . γ) το γινόμενο u ⋅ v . !" !" δ) το συνημίτονο της γωνίας των u , v .

!" " !" !" " ( ) !" " Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = 1 , β = 2 και α ⊥ α + β . !" " !" " α) Να αποδείξετε ότι α ⋅ β = −1 . β) Να βρείτε την γωνία των α , β . !" " γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α + β .

!" " !" !" " !" " Δίνονται τα κάθετα διανύσματα α , β , με α = 3 και α − 2β ⊥ 2α + β . ( ) ( ) ! !" " α) Να αποδείξετε ότι β = 3 . β) Να βρείτε το α + 2β .

!" " !" " π Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = 1 , β = 5 3 και γωνία . Να βρείτε: 6 !" " !" " !" " !" α) το α ⋅ β . β) το 5α − 2β . γ) το α ⋅ 2β − 5α . ( ) !" " !" δ) το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζουν τα α , 2β − 5α .

!" " !" " !" " Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = 3 , β = 1 , α − β = 2 . !" " α. Να αποδείξετε ότι α ⋅ β = 3 . !" " β. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α , β είναι ομόρροπα. ! "! ! γ. Να βρείτε το μέτρο του γ = α + 3β .

Δίνονται τα σημεία Α(κ , κ + 1) , Β(1, κ) , Γ(0 , κ + 2) . α. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού κ, ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να σχημα- τίζουν τρίγωνο. β. Για κ = 1 , να βρείτε: Ι. το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ. !!!" !!" !!" ΙΙ. την τιμή της παράστασης ΑΒ ⋅ 2ΒΓ − ΓΑ . ( )

!" " !" " !" " Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = 2 , β = 3 , 2α − β = 7 . Να δείξετε ότι: !" " !" " !" 2 " 1 !" " α) α ⋅ β = −6 . ( ) β) συν α , β = −1 . γ) α = − 3 β. δ) 2 α−β = 4 .

!" " !" " π Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = 1 , β = 2 και γωνία . Να βρείτε: !" " 3 α. το α ⋅ β . !" !" " !" !" " β. τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε τα διανύσματα v = α + β , u = α − λβ να είναι κά- θετα μεταξύ τους. ! "! ! γ. το μέτρο του διανύσματος γ = 3α − β . ! "! δ. το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων γ , α .

!" " ( Δίνονται τα διανύσματα α = 1,− 3 , β = 2 , 2 3 . ) ( ) !" " α. Να βρείτε το α ⋅ β . !" " β. Να βρείτε την γωνία των α , β . ! "! ! "! "! ! γ. Αν x = 2α + β , y = −4α + 2β , να βρείτε τα μέτρα τους και να δείξετε ότι είναι κάθετα μεταξύ τους.

!" ! Δίνεται το μοναδιαίο διάνυσμα α και το διάνυσμα β , για τα οποία ισχύουν !" !" " ! "! ! ( ) ( α ⋅ α − 2β = 5 και β ⋅ 3α + β = 10 . Να βρείτε: ) !" " ! α. το εσωτερικό γινόμενο α ⋅ β , καθώς και το μέτρο του β . !" " β. την γωνία των α , β . !" " !" " γ. το εσωτερικό γινόμενο 5α + β ⋅ α + 3β . ( !" )( " ) δ. τους πραγματικούς αριθμούς x, για τους οποίους ισχύει xα + 2β = 7 .

!" ⎛ !" !" ⎞ Θεωρούμε το διάνυσμα α = ⎜⎜ α − 2 , α − 1 ⎟⎟⎟ , το οποίο δεν είναι παράλληλο στον άξονα ⎝ ⎠ ! ! ! "! x΄x, καθώς και τα διανύσματα β = (2 , 6) , γ = β − α . !" α. Να αποδείξετε ότι α = 5 . ! ! β. Να βρείτε την γωνία των β , γ . !" !" " " !" " " γ. Θεωρούμε διάνυσμα v , για το οποίο ισχύουν οι σχέσεις v + β / / γ και v + γ ⊥ β . !" ( ) ( ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του v .

!" " Δίνονται τα διανύσματα α = (−3 , 4) , β = (8, 6) . !" " α. Να δείξετε ότι α ⊥ β . !" " β. Να βρείτε τα μέτρα των α , β . !" " γ. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2α + β . ! "! ! ! δ. Να βρείτε τον κ ∈ ! , ώστε το γ = κα − β + j να σχηματίζει γωνία 135ο με τον άξο- να x΄x.

!" " !" " 2π !" Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = 2 , β = 1 και γωνία , και το διάνυσμα u , 3 !" !" " !" " !" ( ) με u / / α − 2β και α ⊥ β − u .( ) !" " α. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α ⋅ β . !" 1 !" 1 " β. Να δείξετε ότι u = − α+ β. 6 3 !" !" γ. Να βρείτε την γωνία των α , u .

!" " !" " Δίνονται τα διανύσματα α , β , με α = − 3 , 3 , β = 1, 3 .( ) ( ) !" " !" " α. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α ⋅ β και την γωνία των α , β . ! "! ! β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ = α + 3 β . !!!" !" !!!" " !!!" " !!!" !!!" γ. Αν ΟΑ = α , ΟΒ = β , ΟΓ = γ , τότε να δείξετε ότι ΑΓ / / ΟΒ .