Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) – Κατηγορία 42

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! , με f ′(x) ≤ 2 , για κάθε x ∈ ! . Αν είναι f(1) = 2000 , να δείξετε ότι 1998 ≤ f(2) ≤ 2002 .

Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο ⎡⎢α , β⎤⎥ , με f(α) < 0 και ⎣ ⎦ f(β) = f ′(β) = 0 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε f ′′(ξ) < 0 .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢−α , α ⎤⎥ , παραγωγίσιμη στο (−α , α) και είναι ⎣ ⎦ f(α) = α , f(−α) = −α . Αν f ′(x) ≤ 1 , για κάθε x ∈ (−α , α) , να βρείτε την τιμή f(0) .

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι παραγωγίσιμη. Αν υπάρχει α ∈ ! τέτοιο, ώστε f ′(x) > f(α) , για κάθε x ∈ ! , να δείξετε ότι f(α + 1) > 2f(α) .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢2 , + ∞) , παραγωγίσιμη στο (2 , + ∞) , με f(2) = 0 και ⎣ 0 < f ′(x) < 1 , για κάθε x ∈ (2 , + ∞) . Να δείξετε ότι 0 < f(x) < x − 2 , για κάθε x ∈ (2 , + ∞) .

Οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο ⎡⎢0 ,1⎤⎥ , παραγωγίσιμες στο (0 ,1) , με ⎣ ⎦ f(0) = 3 , g(1) = 1 , 5 ≤ f ′(x) ≤ 8 , 2 ≤ g ′(x) ≤ 4 , για κάθε x ∈ (0 ,1) . Να δείξετε ότι 9 ≤ f(1) − g(0) ≤ 14 .