ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-Παράγραφος 2-Κ4 (Α)

Να λύσετε το σύστημα ⎧⎪ 3x + 5y = −7 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪⎪ 2x − 3y = 8 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ και, για τις τιμές των x, y που θα βρείτε, να βρείτε την τιμή της παράστασης A = x 2 + y2 − 3xy .

Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε το σύστημα ⎧⎪ αx − βy = 2 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪⎪ (α + β)x − (α − β)y = 8 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ να έχει λύση (x , y) = (2 ,1) .

Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε η εξίσωση x 2 − (3α + β)x + 2β = 0 να έχει ρίζες τις x1 = 1 , x 2 = 4 .

Δίνεται το σύστημα ⎧⎪ 2x + 3y = α ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬,α∈!. ⎪⎪ x + 2(y + 1) = α ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Αν (x , y) είναι η μοναδική του λύση, να λύσετε την ανίσωση (x − 4)2 + (y + 3)2 ≤ 13 .

Αν το σύστημα ⎧⎪ (2α + 1)x − (β − α − 4)y = 1 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ , α,β ∈ ! , ⎪⎪ (2α + β)x + (α − 2β)y = 2 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ έχει λύση (x , y) = (1,− 1) , να βρείτε τις τιμές των α, β.

Αν για τις ορίζουσες D , Dx , Dy ενός 2 x 2 γραμμικού συστήματος ισχύουν 2D + 3Dx − Dy = 5 , D + Dx − Dy = 0 , D − Dx + Dy = 2 , να βρείτε την λύση (x 0 , y 0 ) του συστήματος.

Αν (x 0 , y 0 ) είναι η λύση του συστήματος ⎧⎪ αx + y = 2α ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ , α∈!, ⎪⎪ x + αy = α + 1 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ για ποιες τιμές του α ισχύει 2x 0 + y 0 = 2 ;

Αν για τις ορίζουσες D , Dx , Dy ενός 2 x 2 γραμμικού συστήματος ισχύει (D − 1)2 + (Dx + 2)2 + (Dy − 3)2 = 0 , να βρείτε την λύση του συστήματος.

Αν για τις ορίζουσες D , Dx , Dy ενός 2 x 2 γραμμικού συστήματος ισχύει D + 1 + Dx − 2 + D y − 3 = 0 , να βρείτε την λύση του συστήματος.

Για ένα γραμμικό 2 x 2 σύστημα, με ορίζουσες D , Dx , Dy , το οποίο έχει μοναδική λύση (x 0 , y 0 ) , ισχύουν D = Dx + Dy , x 0 − y 0 = 0 . Να βρείτε την λύση του συστήματος.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (α + 1)x 2 + (α + β − 2)x + 2 − γ , α , β , γ ∈ ! . Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα ση- μεία A(1,1) , B(−1, 6) και ισχύει f(0) = 1 .

Για ένα γραμμικό 2 x 2 σύστημα, με ορίζουσες D , Dx , Dy , το οποίο έχει μοναδική λύση (x 0 , y 0 ) , ισχύουν 2Dx + 3Dy = −D , − 4Dx + 7Dy = −11D . Να βρείτε τα x 0 , y 0 .

Δίνονται τα συστήματα ⎧⎪ (κ + 1)x + 2λy = 2 ⎫⎪ ⎧⎪ (2κ + 1)x + (λ + 7)y = −6 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Σ1 : ⎨ ⎬ , Σ2 : ⎨ ⎬ , κ,λ ∈ ! . ⎪⎪ 2x + 5y = 1 ⎪⎪ ⎪⎪ 3x − 4y = 2 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Υπάρχουν τιμές των κ, λ, ώστε αυτά να έχουν συγχρόνως άπειρες λύσεις;

Για ένα γραμμικό 2 x 2 σύστημα, με ορίζουσες D , Dx , Dy , το οποίο έχει μοναδική λύση (x 0 , y 0 ) , ισχύει D2 + D2x + D2y = 2D − 6Dx + 4Dy − 14 . Να βρείτε τα x 0 , y 0 .

Θεωρούμε την εξίσωση 2x 2 − 3µx + 2ν = 0 , µ , ν ∈ ! . Αν ρ1 , ρ2 είναι οι ρίζες της και ⎧⎪ 3ρ1 − 2ρ1ρ2 = −3ρ2 ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ισχύουν ⎨ ⎬ , να βρείτε τα μ, ν. ⎪⎪ 1 − ρ ρ − 6ρ = 6ρ − 10 ⎪⎪ ⎩⎪ 1 2 1 2 ⎭⎪

Αν η εξίσωση x 2 + αx + β = 0 , α , β ∈ ! , έχει ρίζες τους αριθμούς 2 και ­1, να βρείτε τις τιμές των α, β.

Να λύσετε το σύστημα ⎧⎪ ⎫ ⎪⎪ 2 x + 5y = 20 ⎪⎪⎪ 2 ⎨ ⎬. ⎪⎪ −3 x + y2 = 4 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪

Να λύσετε το σύστημα ⎧⎪ ⎫ ⎪⎪ 3 x − 6 y = 7 ⎪⎪⎪ ⎨ ⎬. ⎪⎪ 2 x − 4 y = −1 ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪

Δίνεται το σύστημα ⎧⎪ 2 ⎫ ⎪ µ x + µy = 1 ⎪⎪ ⎨ ⎬ , µ ∈ !. ⎪⎪ x + µy = µ ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ α. Για ποιες τιμές του μ έχει μοναδική λύση; β. Αν (x 0 , y 0 ) είναι η μοναδική λύση, να βρείτε το μ, ώστε 2x 0 + 3y 0 = 3 . γ. Για ποιες τιμές του μ το σύστημα είναι αδύνατο;

Να βρείτε για ποιες τιμές των κ , λ ∈ ! τα συστήματα ⎧⎪ κx + (λ + 1)y = 3 ⎫⎪ ⎧⎪ κx + 9y = 3 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Σ1 : ⎨ ⎬ , Σ2 : ⎨ ⎬ ⎪⎪ 3x + 2y = 3 ⎪⎪ ⎪⎪ λx + 3y = 1 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ έχουν συγχρόνως άπειρες λύσεις.

Δίνεται το σύστημα ⎧⎪ (λ + 1)x + 8y = 4λ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ , λ ∈ !. ⎪⎪ λx + (λ + 3)y = 3λ − 1 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Για ποιες τιμές του λ αυτό: α. έχει μοναδική λύση; β. έχει μοναδική λύση (x 0 , y 0 ) , που ικανοποιεί την σχέση x 0 + y 0 = 1 ; γ. έχει άπειρες λύσεις;

Για το σύστημα ⎧⎪ αx + βy = 2αβ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ , α,β ∈ ! , ⎪⎪ βx + αy = α + β ⎪⎪ 2 2 ⎩⎪ ⎭⎪ να δείξετε ότι ισχύει Dx α ⋅D Dy β⋅D + = 0. α ⋅D Dx β⋅D Dy

Δίνεται το σύστημα ⎧⎪ −x + y = λ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ , λ∈!. ⎪⎪ x − 2y = λ + λ ⎪⎪ 2 ⎩⎪ ⎭⎪ α. Να δείξετε ότι έχει μοναδική λύση, για κάθε τιμή του πραγματικού λ. β. Να βρεθεί η μοναδική λύση (x 0 , y 0 ) του συστήματος. γ. Να λυθεί η ανίσωση x 0 + y 0 ≥ −3 .

Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ! , για τις οποίες το σύστημα ⎧⎪ αx + 2βy = 1 − x ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪⎪ 3x + (3β − 1)y = αx − 3 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ έχει άπειρες λύσεις, τις οποίες να βρείτε.