Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο – Κατηγορία 2

Δίνεται η συνάρτηση ⎧⎪ 2 ⎪ x − αx + 2 , αν x < 1 f(x) = ⎪⎨ . ⎪⎪ β x , αν x ≥ 1 ⎩⎪ Να βρείτε τους α , β ∈ ! , ώστε η f να παραγωγίζεται στο 1.

Δίνεται η συνάρτηση ⎧⎪ ηµx , αν x < π ⎪ f(x) = ⎨ , ⎪⎪ αx + β , αν x ≥ π ⎩⎪ με α, β πραγματικούς αριθμούς. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = π , βρείτε τα α, β. Στην συνέχεια, σχεδιάστε την γραφική παράσταση της f και, μέσω του σχήματος, βρεί- τε το σύνολο τιμών. Εξετάστε αν ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f.

Δίνεται η συνάρτηση ⎧⎪ 2 2 ⎪ 3x − α x , αν x < 1 f(x) = ⎨ . ⎪⎪ 5x + α − 4 , αν x ≥ 1 ⎪⎩ Να βρείτε τις τιμές του α ∈ ! , για τις οποίες η f είναι: α) συνεχής στο 1. β) παραγωγίσιμη στο 1.

Αν ⎧⎪ ⎪⎪ 2αx + 3 4 + x 2 , αν x ≤ 0 f(x) = ⎨ , ⎪⎪ 2ηµx + β , αν x > 0 ⎩⎪ να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 .

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 = 1 , με f(1) = 2 και f ′(1) = 2 . Να βρεθούν τα α , β ∈ ! , ώστε η συνάρτηση ⎧⎪ ⎪⎪ f 2 (x) , αν x ≥ 1 g(x) = ⎨ ⎪⎪ 2αx 2 + βx , αν x < 1 ⎩⎪ να είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 1 .

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 0 , με f(0) = 2 , f ′(0) = 1 . Να βρείτε το β ∈ ! , ώστε η συνάρτηση ⎧⎪ ⎪⎪ f 3 (x) , αν x ≤ 0 g(x) = ⎨ 2 ⎪⎪ 2f (x) + β , αν x > 0 ⎩⎪ να είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 = 0 .