Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης – Κατηγορία 53

Να λύσετε την εξίσωση x 2 + x + ℓnx = 2 .

Να λύσετε την εξίσωση e x − 1 = ℓn(x + 1) .

Να λύσετε την εξίσωση 2e x = x 2 + 2x + 2 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → (0 , + ∞) , με f(x) + e f(x) = x 3 + x 2 + 3x , για κάθε x ∈ ! . α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Να λύσετε την εξίσωση f (ℓnx) = f 1 − x 2 . ( )

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) = e x + x . 2 α) Να βρείτε την μονοτονία της. β) Να λύσετε την εξίσωση e x −x + x 2 = e−x .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2ℓn(x + 1) + x 2 − 2x . α) Να βρείτε την μονοτονία της. β) Να λύσετε την ανίσωση f(x) ≥ 0 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 + x − 1 . α) Να βρείτε την μονοτονία της. β) Να λύσετε την ανίσωση f (3 − 2f(x)) < 1 .

2x Να λύσετε την εξίσωση ℓn(x + 1) − +x=0. x+2

Να λύσετε την εξίσωση e x+1 + 2x − e = 0 .

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύουν f(x) > 0 και f 3 (x) + ℓnf(x) + e f(x) = x 3 + x 2 + 2x − 1 , για κάθε x ∈ ! . Να λύσετε την εξίσωση f (ℓnx) = f 1 − x 2 . ( )

Έστω η συνάρτηση f(x) = e x + x 2 − x − 1 . α. Να αποδείξετε ότι η C f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε ένα μόνο σημείο της. β. Να λύσετε την εξίσωση e x + x 2 = x + 1 . γ. Να αποδείξετε ότι e x − 1 ≥ x(1 − x) , για κάθε x ∈ ! .

Να λύσετε την εξίσωση 4x + 3x = 5x .

Να λύσετε την εξίσωση e x − e−x = 2xe−x .

Να λύσετε την εξίσωση 3x 4 + x + 2ℓnx = 4 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να λύσετε την εξίσωση x x = 2x+4 , x > 0 .

x2 x3 Να λυθεί η εξίσωση ℓn(x + 1) = x − + . 2 3

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 4 + ℓnx . α. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία. 4x + 4 ( ) ( ) 4 4 β. Να λύσετε την εξίσωση ℓn x+2 = 2x+2 + 1 − 4x + 4 . 2 +1

e2x − 1 Να λύσετε την ανίσωση ≥x. e2x + 1

Να λύσετε την ανίσωση ℓn(x 2 + 1) + e x ≥ 1 − x .

Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = 1 − x − 2ℓnx .

α. Να μελετήσετε την μονοτονία της συνάρτησης f(x) = x − ℓn e x + x 2 + 5 . ( ) 2 ex + x4 + 5 β. Να λύσετε την ανίσωση ℓn x 2 ≥ x2 − x . e +x +5

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f , g : ! → ! , για τις οποίες ισχύει ότι f(0) = g(0) = 0 , f ′(x) = 2xe−f(x) και e x g ′(x) = e x + 1 , για κάθε x ∈ ! . α. Να βρείτε τους τύπους των f και g. β. Να μελετήσετε την συνάρτηση h(x) = f(x) + g(x) ως προς την μονοτονία. γ. Να λύσετε την ανίσωση e x ⎡⎢ ℓn(x 2 + 1) + x + 1⎤⎥ ≥ 1 . ⎣ ⎦