Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 16

Δίνεται η συνάρτηση ⎧⎪ συνx − 1 ⎪⎪ , αν x < 0 ⎪⎪ x 2 f(x) = ⎨ . ⎪⎪ 1 x ⎪⎪ ηµx + e , αν x ≥ 0 ⎪⎩ 2 Βρείτε την παράγωγό της, όπου ορίζεται.

Αν ⎧⎪ x ℓnx ⎪⎪ , αν 0 < x ≠ 1 f(x) = ⎪⎨ 1 − x , ⎪⎪ ⎪⎩⎪ −1 , αν x = 1 1 να δείξετε ότι: α) η f είναι συνεχής. β) f ′(1) = − . 2

Να βρεθούν τα α , β ∈ ! , ώστε η συνάρτηση ⎧⎪ ⎪⎪ 1 + α ⋅ συνx , αν x ≤ π ⎪ 3 f(x) = ⎪⎨ ⎪⎪ x π ⎪⎪ β + ηµ , αν x > ⎪⎩ 2 3 π να είναι παραγωγίσιμη στο . 3

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0 , + ∞) , με ℓ im ⎡⎢ f(x) + x ⋅ f ′(x)⎤⎥ = 1993 . x→ +∞ ⎣ ⎦ Αν είναι και ℓ im f(x) ∈ " * , να δείξετε ότι ℓ im f(x) = 1993 . x→ +∞ x→ +∞

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (−1, + ∞) → ! , για την οποία ισχύει f 3 (x) + f(x) = ℓn(x + 1) + e−x − 1 , για κάθε x > −1 . Να βρείτε: f(x) α) τις τιμές f(0) , f ′(0) . β) το όριο ℓ im . x→ 0 x2

Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε η συνάρτηση ⎧⎪ x ⎪⎪ α + xe , αν x ≤ 0 f(x) = ⎨ ⎪⎪ βx − x 2ℓnx , αν x > 0 ⎩⎪ να είναι παραγωγίσιμη.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ! και ισχύει f 3 (x) + 3f(x) = 3x ⋅ ηµx , για κάθε f(x) x ∈ ! . Να υπολογίσετε το όριο ℓ im . x→ 0 x2

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! , με ℓ im ⎡⎢ x ⋅ f ′(x) + f(x)⎤⎥ = 1 . Αν υπάρχει x→ +∞ ⎣ ⎦ * στο ! το όριο ℓ im f(x) , να αποδείξετε ότι: x→ +∞ α) ℓ im f(x) = 1 . β) ℓ im f ′(x) = 0 . x→ +∞ x→ +∞