Ε8-Π1-2+Κ29-εξώφυλλο

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x 0 = 2 , να βρεθεί η τιμή f(2) αν, επιπλέον, ισχύει 2x 3 − 8x ≤ (x − 2) ⋅ f(x) ≤ 3x 3 − 6x 2 + 4x − 8 , για κάθε x ∈ ! .

Αν για τις συναρτήσεις f, g και για κάθε x ∈ ! ισχύει f(x) − 3 ≤ g(x) − 5 και η g εί- ναι συνεχής στο 2, με g(2) = 5 , να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο 2.

Αν για την συνάρτηση f : ! → ! ισχύει f(x) ≤ x 2 , για κάθε x ∈ ! , τότε: α. να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 = 0 . ⎧⎪ f(x) ⎪⎪ , αν x ≠ 0 β. να εξετάσετε αν η συνάρτηση g(x) = ⎪⎨ x είναι συνεχής στο 0. ⎪⎪ ⎪⎩⎪ 0 , αν x = 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f : ! → ! είναι συνεχής στο x 0 = 0 αν, για κάθε x ∈ ! , ισχύει ηµ2x + 2x ⋅ f(x) ≤ f 2 (x) ≤ ηµ2x + x ⋅ ⎡⎢ x + 2f(x)⎤⎥ . ⎣ ⎦

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Μια συνάρτηση f : ! → ! έχει την ιδιότητα f 5 (x) + f(x) = x , για κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο x 0 = 0 .

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει 6x ≤ f(x) ≤ x 2 + 9 , για κάθε x ∈ ! . α. Να βρείτε το f(3). β. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 = 3 . ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ γ. Να υπολογίσετε το όριο ℓ im ⎢⎢ x 2f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎥⎥ . x→1/3 ⎢⎣ ⎝ x ⎟⎠ ⎥⎦

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε να ισχύει 1 + 4x − x 2 ≤ f(x) ≤ x 2 − 4x + 9 , για κάθε x ∈ ! . α. Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο σημείο x 0 = 2 . ⎧⎪ f(x) − 5 ⎪⎪ , αν x ≠ 2 β. Να βρεθεί ο α ∈ ! , ώστε η συνάρτηση g(x) = ⎪⎨ x − 2 να είναι συνε- ⎪⎪ 3 ⎪⎩⎪ α + 8 , αν x = 2 χής στο x 0 = 2 .

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 = 0 και, για κάθε x ∈ ! , ισχύει x ⋅ f(x) − 2ηµ2x ≤ x 4 , να υπολογίσετε το f(0).

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι συνεχής και, για κάθε x ∈ ! , ισχύει (x − α) ⋅ f(x) ≥ x 2 + αx − 2α 2 . Να δείξετε ότι f(α) = 3α .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f 2 (x) + 4f(x) + 4συν2x ≤ 0 , για κάθε x ∈ ! , να αποδεί- ξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο x 0 = 0 .