Ε7-Π1-εξώφυλλο

αx 3 + (α − 2)x 2 + 5 Να βρείτε το ℓ im , για τις διάφορες τιμές του α ∈ ! . x→−∞ (α − 3)x 2 + 4x + 1

f(x) f(x) Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με ℓ im = 4 . Να δείξετε ότι ℓ im 2 =0. x→ +∞ x + 1 x→ +∞ x − 1

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! αx ν + x + 1 Δίνεται ότι ℓ im 3 = 4 . Να βρεθούν οι α ∈ ! , ν ∈ " * . x→ +∞ 2x + x + 4

Να βρεθούν τα α , β ∈ ! , εάν ισχύει ότι ℓ im x→ +∞ ( 9x + 4x + 1 + αx + β) = 0 . 2

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 2α x + 3βx Έστω α , β ∈ (1, + ∞) . Να βρεθεί το όριο ℓ im . x→ +∞ α x + βx

f(x) Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , με ℓ im = 2 και ℓ im ⎡⎢ f(x) − x ⎤⎥ = 3 . Να βρεθεί το x→ +∞ x x→ +∞ ⎣ ⎦ x ⋅ f(x) − x 2 + ηµx − λx λ ∈ ! , εάν ισχύει ℓ im =1. x→ +∞ f(x) + λx − x

f(ℓnx) Εάν ℓ im = 1 και υπάρχει το ℓ im f(x) , να υπολογιστεί το ℓ im f(x) . x→ +∞ x x→ +∞ x→ +∞

Να βρεθεί το ℓ im ⎡⎢(α 2 − 2α)x 3 − αx 2 + (α − 2)x + 3⎤⎥ , για τις διάφορες τιμές της παρα- x→−∞ ⎣ ⎦ μέτρου α ∈ ! .

P(x) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , όπου Q(x) P(x) = (α − 1)x 2 − x + 5 και Q(x) = (α + 2)x 3 + αx 2 + 2 . Να βρείτε το ℓ im f(x) , για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α ∈ ! . x→ +∞

Για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ! , να υπολογίσετε το (λ − 1)x 4 + (λ2 − 1)x 3 − λx + 5 ℓ im . x→−∞ (1 − λ)x 3 − x − 1

Να βρεθεί το ℓ im x→ +∞ ( x − x + 1 − λx) , για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ! . 2

f(x) 3f(x) − 8x Αν ℓ im = 1 , να βρεθεί το ℓ im . x→−∞ x x→−∞ 2x + 3f(x)

x ⋅ f(x) Αν ℓ im = ℓ ∈ " , να βρεθεί το ℓ im f(x) . x→ +∞ x→ +∞ x −1

Μια συνάρτηση f ορίζεται στο διάστημα (0 , + ∞) . ⎡ ⎤ Αν ισχύει ℓ im ⎢2x − 4x 2 + 1 + 3f(x)⎥ = 6 , να βρείτε το ℓ im f(x) . x→ +∞ ⎣ ⎦ x→ +∞

x 2f(x) + x 2 + 1 Δίνεται συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , με ℓ im = 2 . Να βρείτε: x→ +∞ x2 + 3 x ⋅ f(x) + αx + 1 α. το ℓ im f(x) . β. τον αριθμό α, αν ℓ im = 1. x→ +∞ x→ +∞ x+2

Αν ισχύει x ⋅ f(x) − x 2 + 1 ≤ 1 , για κάθε x ∈ ! , να βρείτε το ℓ im f(x) . x→ +∞

3x − 5 3x 2 + 10 Για μια συνάρτηση f ισχύει ≤ f(x) ≤ , για κάθε x > 0 . Να βρείτε το x x2 ℓ im f(x) . x→ +∞

5x 2 − ηµ2x Να βρείτε το όριο ℓ im . x→ +∞ x 2 + 100

x ⋅ ηµx Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , x∈!. x2 + 1 x x α. Να αποδείξετε ότι − 2 ≤ f(x) ≤ 2 , για κάθε x ∈ ! . x +1 x +1 β. Να βρείτε τα ℓ im f(x) , ℓ im f(x) . x→ +∞ x→−∞ f(x) γ. Να βρείτε το όριο ℓ im . x→ +∞ x

Να βρείτε τα όρια: ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ηµx συνx α. ℓ im ⎜⎜⎜ηµ ⎟⎟⎟ . β. ℓ im ⎜⎜⎜συν ⎟⎟⎟ . γ. ℓ im . δ. ℓ im . x→ +∞ ⎝ x ⎠⎟ x→−∞ ⎝ x ⎠⎟ x→ +∞ x x→−∞ x ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ε. ℓ im ⎜⎜⎜x ⋅ ηµ ⎟⎟⎟ . στ. ℓ im ⎜⎜⎜x 3ηµ 3 ⎟⎟⎟ . ζ. ℓ im ⎜⎜⎜x 4ηµ 3 ⎟⎟⎟ . x→−∞ ⎝ x ⎠⎟ x→ +∞ ⎝ x ⎠⎟ x→ +∞ ⎝ x ⎠⎟ 4x 2ηµx 4x + ηµx η. ℓ im 3 . θ. ℓ im . x→ +∞ x + 8 x→ +∞ x + συνx

f(x) Για την συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! ισχύει ℓ im = α , όπου α ∈ (0 , + ∞) . x→ +∞ x ℓnf(x) Να βρεθεί το ℓ im . x→ +∞ ℓnx

(λ − 1)x 3 − (λ − µ)x 2 + µx − 3 Αν f(x) = , να βρεθεί το ℓ im f(x) , για κάθε λ , µ ∈ ! . x +1 x→ +∞

Έστω f : ! → ! μία συνάρτηση, με ℓ im f(x) = d ∈ " . Να δείξετε ότι x→ +∞ ℓ im ⎡⎢ f(x + 2) − 2f(x + 1) + f(x)⎤⎥ = 0 . x→ +∞ ⎣ ⎦

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται μία περιττή συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε ⎡ 1 ⎤⎥ ℓ im ⎢ (3x − 1) ⋅ f(x) + x 2ηµ = 2. x→ +∞ ⎢ x ⎥⎦ ⎣ ⎡ f(x)⎤ + 1 2 ⎣⎢ ⎦⎥ f(x) Να βρείτε τα όρια: α. ℓ im f(x) . β. ℓ im . x→ +∞ x→−∞ 2 ⎡ f(x)⎤ + f(x) ⎣⎢ ⎦⎥