Ε1(Θ)+Κ1(Α)-εξώφυλλο

Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης ⎧⎪ ⎪⎪ e x − x , αν x ≤ 0 f(x) = ⎪⎨ . ⎪⎪ ηµx + 1 , αν x > 0 ⎪⎩⎪ x +1

Να βρεθούν οι παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων: x3 + x2 + x + 1 1 α) f(x) = 2x 3 − 5x 2 + x . β) f(x) = . γ) f(x) = e x + . x x δ) f(x) = συνx − ηµx . ε) f(x) = (x − 2)2 . στ) f(x) = (2x + 1)(x 2 + x)3 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθούν οι παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων: 1 2x − 3 α) f(x) = . β) f(x) = . x+2 2 x − 3x + 2

Να βρείτε τις αρχικές της συνάρτησης ⎧⎪ 2 ⎪ 3x , αν x ≤ 0 f(x) = ⎨ . ⎪⎪ 2x , αν x > 0 ⎪⎩

Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : ! → ! και F μία παράγουσα της f στο ! , με F′′(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . Αν για κάθε x ∈ ! ισχύει F(x) = F(2 − x) , να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 .

Έστω συνάρτηση f : ! → ! και F μία αρχική της στο ! . α. Αν η F δεν είναι αντιστρέψιμη, να δείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0 ∈ ! , ώστε f(x 0 ) = 0 . β. Αν η F είναι άρτια, να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα.

Αν η συνάρτηση F είναι μία αρχική στο ! της συνάρτησης f : ! → ! και ισχύει F(2 − x) + F(x 2 − 4) = 6x − 2 , για κάθε x ∈ ! , να βρείτε τις τιμές f(0) , f(2) .

Αν η συνάρτηση F είναι μία αρχική της f : ! → ! και ισχύει F(x 2 − 3x + 2) + F(1 − x) = 3x 2 , για κάθε x ∈ ! , να βρείτε τις τιμές f(0) , f(−1) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! και F μία αρχική της στο ! , με την ιδιότητα F(x) ⋅ f(x) = −e−2x , για κάθε x ∈ ! . Αν f(0) = 1 , να βρείτε την f.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση F είναι μία παράγουσα της f στο ! και ισχύει 2 f(x) = (2x + 1) ⋅ e x +x−F(x) , για κάθε x ∈ ! . Αν f(1) = 3 , να βρείτε την συνάρτηση f.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : ! → ! και F μία αρχική της στο ! . Αν είναι f(1) = 1 και f(x) ⋅ F(2 − x) = 1 , για κάθε x ∈ ! , τότε: α. να βρείτε την τιμή F(1). β. να δείξετε ότι F(x) ⋅ f(2 − x) = 1 . γ. να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = F(x) ⋅ F(2 − x) , x ∈ ! , είναι σταθερή. δ. να βρείτε τον τύπο της f.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! και έστω F μία αρχική της f στο ! , για την οποία ισχύει F(1 − 2x) + F(x 2 + 2) = x 4 + 5x 2 + 2x , για κάθε x ∈ ! . α. Να βρείτε τις τιμές f(1) , f(3) . β. Να αποδείξετε ότι η C f τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα, τουλάχιστον, σημείο M (x 0 , 0) , με x 0 ∈ (1, 3) . γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1 , ξ 2 ∈ (1, 3) , με ξ1 < ξ 2 , ώστε 1 3 + =2. f ′(ξ1 ) f ′(ξ 2 )

Έστω f : ! → ! μια συνεχής συνάρτηση και F μία αρχική της στο ! , με την ιδιότητα 2α F(x 2 ) ≥ α 2 + F2 (x) , για κάθε x ∈ ! , με α ∈ ! * . Να αποδείξετε ότι: α. F(0) = α και F(1) = α . β. η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο ! .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει θετική συνάρτηση f : ! → ! , της οποίας μια αρχική συνάρτηση F να ικανοποιεί την σχέση F2 (x) ≤ F(x) ⋅ F(α − x) , για κάθε x ∈ ! * , α ∈ ! * .