Ασύμπτωτες συνάρτησης – Κατηγορία 19

Έστω μια συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , για την οποία ισχύει e−x ≤ x ⋅ f(x) ≤ 1 , για κάθε x > 0 . Να δείξετε ότι ο άξονας x΄x είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της C f .

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με τύπο f(x) = x 2 + 2x + 2 . α. Να δείξετε ότι η ευθεία y = −x − 1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο −∞ . β. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της C f στο +∞ .

Έστω η συνάρτηση f, με τύπο f(x) = x 2 − x − x . α. Βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να δείξετε ότι δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. γ. Βρείτε τις πλάγιες και τις οριζόντιες ασύμπτωτες της C f στο +∞ και στο −∞ .

Έστω οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , για τις οποίες ισχύει ℓ im ⎡⎢ f(x) + 2g(x)⎤⎥ = 3 και ότι x→ +∞ ⎣ ⎦ η ευθεία y = x + 3 είναι ασύμπτωτη της C g στο +∞ . f(x) α. Να αποδείξετε ότι ℓ im = −2 . x→ +∞ x β. Να βρείτε την ασύμπτωτη της C f στο +∞ .

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , για τις οποίες ισχύει f(x) − g(x) = x − 4 , για κά- θε x ∈ ! . Αν η ευθεία y = 3x − 7 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ : g(x) g(x) + 3x + ηµ2x α. να βρείτε τα όρια: Ι. ℓ im . ΙΙ. ℓ im . x→ +∞ x x→ +∞ x ⋅ f(x) − 3x 2 + 1 β. να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y = 2x − 3 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g, καθώς x → +∞ .

Έστω οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , με 1 g(x) = f(x) + x + x ⋅ ηµ , για κάθε x ≠ 0 . x Αν η ευθεία y = 2x + 3 είναι ασύμπτωτη της C f στο +∞ , να βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο +∞ .

Αν η ευθεία y = 4x − 3 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο −∞ , να βρείτε το όριο (x − 1) ⋅ f(x) + 3x 2 − 5x + 2 ℓ im . x→−∞ x2 − x

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : (0 , + ∞) → ! , για τις οποίες ισχύει g(x) ⋅ f(x) + x 2 ≤ x ℓnx , για κάθε x > 1 . Αν οι γραφικές παραστάσεις των f, g δέχονται πλάγιες ασύμπτωτες στο +∞ τις ευ- θείες ε1 , ε2 αντίστοιχα, να δείξετε ότι ε1 ⊥ ε2 .

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e xηµx + 2017 . Να αποδείξετε ότι η C f : α. έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο −∞ . β. τέμνει την παραπάνω ασύμπτωτη σε άπειρα σημεία.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 2 αx + 2 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , α>0 . x −α α. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. β. Αν Μ είναι το σημείο τομής των ασύμπτωτων, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει ℓ im ⎡⎢ x ⋅ f(x) − x 2 + 3x ⎤⎥ = 4 . x→ +∞ ⎣ ⎦ α. Να βρείτε την ασύμπτωτη της C f στο +∞ . β. Αν η f είναι άρτια, να βρείτε την ασύμπτωτη της C f στο −∞ .

3x 2 + 1 Να δειχθεί ότι, αν η συνάρτηση f(x) = έχει πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία x+2 y = κx + λ , τότε ισχύει (κ + λ)2 + λ = (2κ + λ)2 + κ .

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει 1 5x ≤ f(x) ≤ 5x + 2 , για κάθε x ∈ ! * . x Να δείξετε ότι η C f έχει πλάγια ασύμπτωτη.