Ακρότατα συνάρτησης (ειδικά θέματα) – Κατηγορία 56

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ! , με f(0) = 1 και f(x) ≤ e−x , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι ισχύει f ′(0) = −1 .

Έστω συνάρτηση f : ! → ! , η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f(x) ≤ e x + ℓn(x 2 + 1) , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε την εφαπτομένη (ε) της C f στο σημείο της A(0 ,1) .

Αν είναι α > 0 , α ≠ 1 και ισχύει α x ≥ x 2 + 2x + 1 , για κάθε x ∈ ! , να δείξετε ότι α = e2 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ! και ισχύει x ⋅ f(x) + 1 ≤ e x + ηµ2x , για κάθε x ∈ ! , να δείξετε ότι f(0) = 3 .

Για κάθε x ∈ ! , ισχύει α x ≥ x + 1 , όπου α θετικός πραγματικός αριθμός. Να δείξετε ότι α = e .

Δίνονται α , β > 0 τέτοιοι, ώστε α x + βx ≥ 2 , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι αβ = 1 .

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , δύο φορές παραγωγίσιμη, με f(0) = 0 και (f ! f ′)(x) ≥ (x − 1)2 , για κάθε x ∈ ! . Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο 1, να δείξετε ότι f ′ (f ′(1)) ⋅ f ′′(1) = 0 .

Αν ισχύει α x ≥ x α , για κάθε x > 0 , να αποδειχθεί ότι α = e , όπου 0 < α ≠ 1 .

H συνάρτηση f : ! → ! είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν f(3) = 0 και 2e f(x) ≤ α f(x) + 2 , για κάθε x ∈ ! , με α ≠ 2 . Να δείξετε ότι f ′(3) = 0 .

Η συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f 3 (x) + x 3 = 3x f(x) − 1 , για κάθε x ∈ (0 , + ∞) . Αν το f(α) είναι τοπικό ακρότατο της f, να δείξετε ότι α = 1 .