Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) – Κατηγορία 39

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ! και η f ′ είναι γνησίως φθίνουσα στο ! , να δείξετε ότι ισχύει f(2001) + f(2004) < f(2002) + f(2003) .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢α , β⎤⎥ , παραγωγίσιμη στο (α , β) , με f(x) > 0 , για κάθε ⎣ ⎦ x ∈ ⎡⎢α , β⎤⎥ . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (α , β) τέτοιο, ώστε ⎣ ⎦ f ′ (ξ) f(α) (α−β)⋅ f(ξ) =e . f(β)

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢α , β⎤⎥ , δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α , β) και ισχύει ⎣ ⎦ f(γ) − f(α) f(β) − f(γ) = , για κάποιο γ ∈ (α , β) . γ −α β−γ Να δείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ (α , β) , ώστε f ′′(ξ) = 0 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f : ! → ! είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, με f ′′(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν στην C f τρία συνευθειακά σημεία.

Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο ⎡⎢−1,1⎤⎥ και τέτοια, ώστε ⎣ ⎦ f(1) + f(−1) f(0) = . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (−1,1) , ώστε f ′′(ξ) = 0 . 2