Τ14 - Τ16 - ΠΩΣ - Διανύσματα, Ευθεία, Κωνικές Τομές

Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες (α 2 + 1)x + (α − 1)y − 3α 2 + α − 4 = 0 , α ∈ ! , διέρχονται από το ίδιο σημείο (διέρχονται από σταθερό σημείο).

Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(6 − 3λ , 1 + 2λ) , λ ∈ ! , για τις διάφο- ρες τιμές της παραμέτρου λ.

Λυμένο παράδειγμα 129 από «Τ14 - Τ16 - ΠΩΣ - Διανύσματα, Ευθεία, Κωνικές Τομές». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας βρούμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(3 − συν2θ , 1 − ηµ2θ) , θ ∈ ! . ⎧⎪ ⎫ x = 3 − συν2θ ⎪⎪ Θέτω ⎪⎨ ⎬. ⎪⎪ y = 1 − ηµ2θ ⎪⎪ ⎩ ⎭ Από την πρώτη εξίσωση έχω συν2θ = 3 − x . Από την δεύτερη εξίσωση έχω ηµ2θ = 1 − y . Από την ταυτότητα ηµ2θ + συν2θ = 1 της Τριγωνομετρίας τότε προκύπτει 1− y + 3 − x = 1 ⇔ x + y −3 = 0, εξίσωση η οποία παριστάνει ευθεία, που είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. β) Προκύπτει (ή ήδη υπάρχει) ανάγκη περιορισμού από τις συντεταγμένες Όταν δίνεται σημείο με παραμετρικές συντεταγμένες και ζητείται να βρεθεί ο γεωμε- τρικός του τόπος, τότε ίσως δίνεται ήδη κάποιος περιορισμός για την παράμετρο από την άσκηση ή να προκύπτει περιορισμός, βάσει αλγεβρικής παρατήρησης.

Λυμένο παράδειγμα 130 από «Τ14 - Τ16 - ΠΩΣ - Διανύσματα, Ευθεία, Κωνικές Τομές». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας βρούμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων M(λ2 + 1 , 2) , λ ∈ ! . - 229 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr “ Πώς ; “ Βασικά θέµατα από τα Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β΄Λυκείου Θέτοντας x = λ2 + 1 , y = 2 , από την δεύτερη σχέση άμεσα προκύπτει ότι τα σημεία Μ ανήκουν στην οριζόντια ευθεία y = 2 . Όμως, επειδή είναι λ2 + 1 ≥ 1 , για κάθε λ ∈ ! , προκύπτει ότι είναι x ≥ 1 . Έτσι, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία της οριζόντιας ευθείας y = 2 , με x ≥ 1 (δηλαδή είναι ημιευθεία).

Λυμένο παράδειγμα 131 από «Τ14 - Τ16 - ΠΩΣ - Διανύσματα, Ευθεία, Κωνικές Τομές». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας δούμε για τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(6 − 3λ , 1 + 2λ) , λ > 0 . Το παράδειγμα αυτό ειναι ίδιο με το παράδειγμα 128, μόνο που εκεί είχαμε ότι λ ∈ ! . Ας δούμε, επομένως, πώς ο περιορισμός λ > 0 αλλάζει την άσκηση. Θα δούμε, επίσης, γιατί εδώ ο πρώτος τρόπος λύσης είναι καλύτερος. ⎧⎪ x = 6 − 3λ ⎫⎪ Θέτω ⎪⎨ ⎪. ⎬ ⎪⎪ y = 1 + 2λ ⎪⎪ ⎩ ⎭ Από την δεύτερη εξίσωση έχω y −1 2λ = y − 1 ⇔ λ = . 2 Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση, έχω y −1 x = 6−3⋅ ⇔ 2x = 12 − 3(y − 1) ⇔ 2x = 12 − 3y + 3 ⇔ 2x + 3y − 15 = 0 , 2 εξίσωση η οποία παριστάνει ευθεία. y −1 Όμως, επειδή είναι λ > 0 , από την σχέση λ = έχω ότι 2 y −1 > 0 ⇔ y −1 > 0 ⇔ y > 1 . 2 Ανάλογα, από την εξίσωση x = 6 − 3λ έχω 6−x 3λ = 6 − x ⇔ λ = , 3 οπότε για λ > 0 είναι 6−x > 0 ⇔ 6−x > 0 ⇔ x <6. 3 - 230 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr “ Πώς ; “ Βασικά θέµατα από τα Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β΄Λυκείου Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το τμήμα της ευθείας 2x + 3y − 15 = 0 , με x < 6 και y > 1 . Με την βοήθεια του διπλανού σχήματος γίνεται αντιληπτό ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι το τμήμα της ευθείας με αρχή το Α (αλλά χωρίς αυτό), που εκτείνεται προς το Β (δηλαδή είναι ημιευθεία, χωρίς την αρχή της). Σχόλιο Στο παράδειγμα 129 θα μπορούσε να υπήρχε περιορισμός για την γωνία θ, οπότε πάλι θα υπήρχε αλλαγή στην τελική απάντηση. - 231 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr