Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο – Κατηγορία 3

f(x) + x 3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 = 1 , με ℓ im = 10 . Να αποδείξετε ότι η f x→1 x −1 είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 1 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά κατεύθυνσης, 2016-2017.

f(2 + 3h) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 = 2 , με ℓ im = 15 , να δείξετε ότι η f h→ 0 h είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 2 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά κατεύθυνσης, 2016-2017.

f(x) − 2x Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 = 0 και ℓ im = 4 , τότε να αποδείξετε x→ 0 x2 ότι: f(x) − 2ηµx f(ηµx) α) f(0) = 0 . β) f ′(0) = 2 . γ) ℓ im =0. δ) ℓ im =2. x→ 0 ηµx x→ 0 x

f(1 + h) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1 και ισχύει ℓ im = 5 , να δείξετε ότι h→ 0 h f(1) = 0 και η f είναι παραγωγίσιμη στο 1.

f(2 − x) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1 και ισχύει ℓ im = 3 , να δείξετε ότι η f x→1 x −1 είναι παραγωγίσιμη στο 1.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! f 2 (x) + 4x ⋅ f(x) Αν f(0) = 0 και ℓ im = −4 , να δείξετε ότι f ′(0) = −2 . x→ 0 x2

f(2 − 3h) − h2 − 5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 = 2 , με ℓ im = 8 , να απο- h→ 0 h δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 2 και να βρεθεί η f ′(2) .

f(1 + h) + 3 Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , συνεχής στο x 0 = 1 , με ℓ im =5. h→ 0 h α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 1 . 2f(x) + x 2 + x + 4 β. Να υπολογίσετε το όριο ℓ im . x→1 x2 − 1

f(x) − 2x Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο x 0 = 0 , με ℓ im = 1 . Να αποδείξετε ότι: x→ 0 x2 f(x) + x ⋅ ηµx − 2x α) f(0) = 0 . β) f ′(0) = 2 . γ) ℓ im = 4. x→ 0 1 − συνx

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = α , να δείξετε ότι: x ⋅ f(α) − α ⋅ f(x) α) ℓ im = f(α) − α ⋅ f ′(α) . x→ α x −α x 2f(α) − α 2f(x) β) ℓ im = 2α ⋅ f(α) − α 2f ′(α) . x→ α x −α Πρόκειται για την άσκηση 11 της κατηγορίας 1. Εδώ θα δοθεί μια «φυσιολογικότερη» λύση. Για να συγκρίνεις τις δύο λύσεις, ξαναδές την λύση της 11 (αφού πρώτα δεις την λύση της 28).