Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης – Κατηγορία 52

Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 3x 2 + 12x = 3 + 2x 3 .

Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης −x 3 + 12x = α , για τις διάφορες τιμές του α ∈ ! .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 1 3 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ηµx = x− στο διάστημα (0 , π) . 2 2

Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης x 2 = συνx στο διάστημα ⎡⎢−π , π⎤⎥ . ⎣ ⎦

Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ℓnx = x − 2 στο (0 , + ∞) .

Να βρείτε πόσες ρίζες έχει η εξίσωση x 3 − 6x 2 + 9x − 2 = 0 στο διάστημα (0 ,1) .

Να βρείτε το πλήθος των θετικών λύσεων της εξίσωσης x 2 = 2e ℓnx .

Έστω f , g : ! → ! συναρτήσεις τέτοιες, ώστε η σύνθεση f ο g να είναι 1­1. Να αποδεί- ξετε ότι: α. η g είναι 1­1. β. η εξίσωση ( ) g f(x) + x 3 − x = g (f(x) + 2x − 1) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα.

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , με π f(x) = x 3 − 3x − 2ηµ2θ , θ ∈ ! , θ ≠ 2κπ + , κ∈". 2 α. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω συνάρτηση f : (0 , e) → ! , για την οποία ισχύουν f(1) = 0 και f(x) = ℓn (x ⋅ f ′(x)) , για κάθε x ∈ (0 , e) . α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0 , e) . β. Να βρείτε τον τύπο της f. γ. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f ′ . δ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης (1 − ℓnx)eα = 1 , α ∈ " .

Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ℓn(x − 1) + x 2 + x − 6 = 0 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! , με f ′(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(e−x ) = f(x + α) , α ∈ ! .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2ℓnx = λx 2 + 1 , λ > 0 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 3 − αx 2 − 4x + α = 0 έχει τρεις ρίζες, για κάθε α ∈ ! .