Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 15

Λυμένο παράδειγμα 43 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 15». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι 00 x ℓ = ℓ im+ x = ℓ im+ e ℓnx = ℓ im+ e x ⋅ℓnx . x x→ 0 x→ 0 x→ 0 Είναι −∞ 1 0⋅(−∞) ℓnx +∞ (ℓnx)′ x α = ℓ im+ (x ℓnx) = ℓ im+ = ℓ im+ = ℓ im+ = ℓ im+ (−x) = 0 . x→ 0 x→ 0 1 x→ 0 ⎛ 1 ⎞⎟′ x→ 0 1 x→ 0 ⎜⎜ ⎟ − 2 x ⎜⎝ x ⎟⎟⎠ x Άρα είναι ℓ = e0 = 1 .

Λυμένο παράδειγμα 44 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 15». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι 1 (+∞)0 1 1 ℓn(1+2x)x ℓ = ℓ im (1 + 2x) ⋅ℓn(1+2x) x = ℓ im e = ℓ im e x . x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ Είναι +∞ ⎡1 ⎤ 0⋅(+∞) +∞ ⎡ ℓn(1 + 2x)⎤ ′ ℓn(1 + 2x) ⎢ ⎦⎥ = α = ℓ im ⎢ ⋅ ℓn(1 + 2x)⎥ = ℓ im = ℓ im ⎣ x→ +∞ ⎢ x ⎥ x→ +∞ x x→ +∞ (x )′ ⎣ ⎦ 1 2 ⋅ (1 + 2x)′ +∞ 2 = ℓ im 1 + 2x = ℓ im = 0. x→ +∞ 1 x→ +∞ 1 + 2x Άρα είναι ℓ = e0 = 1 . - 212 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 3η ΕΝΟΤΗΤΑ. Κανόνες του de l’ Hospital

Λυμένο παράδειγμα 45 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 15». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι x 1 ⎟⎟ ⎛ ⎞x 1 ⎟⎟ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞⎟ 1 +∞ ℓn⎜⎜⎜1+ ⎟ x ⋅ℓn⎜⎜⎜1+ ⎟ ⎜ ℓ = ℓ im ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = ℓ im e ⎝⎜ x2 ⎟⎠ = ℓ im e ⎝⎜ x2 ⎟⎠ . x→ +∞ ⎝ x ⎟⎠ x→ +∞ x→ +∞ Είναι ⎛ 1⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤′ ℓn ⎜⎜⎜1 + 2 ⎟⎟⎟ 0 ⎢ ℓn ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎜⎝ ⎟ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ (+∞)⋅0 ⎝ x ⎠⎟ 0 ⎢⎣ x 2 ⎟⎠ ⎥⎥⎦ α = ℓ im ⎢⎢ x ⋅ ℓn ⎜⎜⎜1 + 2 ⎟⎟⎟ ⎥⎥ = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ ⎢⎣ ⎝ x ⎟⎠ ⎥⎦ x→ +∞ 1 x→ +∞ ⎛ 1 ⎞⎟′ ⎜⎜ ⎟ x ⎜⎝ x ⎟⎟⎠ 1 1 ⋅ (1 + x−2 )′ ⋅ (−2x−3 ) 1 2 x +1 x2 −2 1+ 2 ⋅ 3 = ℓ im x2 = ℓ im x2 = ℓ im x + 1 x = x→ +∞ 1 x→ +∞ 1 x→ +∞ 1 − 2 − 2 − x x x2 2x 2x 2 = ℓ im = ℓ im 2 = ℓ im = 0 . x→ +∞ 2 x +1 x→ +∞ x x→ +∞ x Τελικά είναι ℓ = e0 = 1 . Δεύτερος τρόπος (προτεινόμενος) Είναι x 1 ⎟⎟ ⎛ ⎞x 1 ⎟⎟ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞⎟ 1 +∞ ℓn⎜⎜⎜1+ ⎟ x ⋅ℓn⎜⎜⎜1+ ⎟ ⎜ ℓ = ℓ im ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = ℓ im e ⎝⎜ x2 ⎟⎠ = ℓ im e ⎝⎜ x2 ⎟⎠ . x→ +∞ ⎝ x ⎠⎟ x→ +∞ x→ +∞ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 1 1 Στο α = ℓ im ⎢⎢ x ⋅ ℓn ⎜⎜⎜1 + 2 ⎟⎟⎟ ⎥⎥ θέτω = y . Τότε είναι x = . x→ +∞ ⎣⎢ ⎝ x ⎠⎟ ⎦⎥ x y Όταν x → +∞ , τότε y → 0+ , οπότε 1 ⎡ ℓn(1 + y2 )⎤ ′ 0 ⋅ (1 + y2 )′ ⎡1 ⎤ (+∞)⋅0 ℓn(1 + y ) 2 2 ⎦⎥ = ℓ im 1 + y 0 ⎢ α = ℓ im+ ⎢ ⋅ ℓn(1 + y2 )⎥ = ℓ im+ = ℓ im+ ⎣ = y→ 0 ⎢ y ⎥ y→ 0 y y→ 0 (y)′ y→ 0+ 1 ⎣ ⎦ 2y 2⋅0 = ℓ im+ 2 = 2 =0. y→ 0 y + 1 0 +1 - 213 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 3η ΕΝΟΤΗΤΑ. Κανόνες του de l’ Hospital Τελικά είναι ℓ = e0 = 1 . - 214 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

191. ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ ⎝⎜ ⎝⎜

192. ℓ = ℓ im x x

193. ℓ = ℓ im+ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟

194. ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ ⎝⎜ ⎝⎜

195. ℓ = ℓ im (x − 1)

196. ℓ = ℓ im (ℓnx)

197. ℓ = ℓ im (ηµx) = ℓ im e

198. ℓ = ℓ im (x + 1) ηµx

199. ℓ = ℓ im e − x

200. ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟

201. ℓ = ℓ im x + x

202. ℓ = ℓ im x x−1

203. ℓ = ℓ im x x

204. ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ ⎝⎜ ⎝⎜