Λυμένο παράδειγμα 45

Βοηθητική μεταγραφή

Λυμένο παράδειγμα 45 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 15». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι x 1 ⎟⎟ ⎛ ⎞x 1 ⎟⎟ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞⎟ 1 +∞ ℓn⎜⎜⎜1+ ⎟ x ⋅ℓn⎜⎜⎜1+ ⎟ ⎜ ℓ = ℓ im ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = ℓ im e ⎝⎜ x2 ⎟⎠ = ℓ im e ⎝⎜ x2 ⎟⎠ . x→ +∞ ⎝ x ⎟⎠ x→ +∞ x→ +∞ Είναι ⎛ 1⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤′ ℓn ⎜⎜⎜1 + 2 ⎟⎟⎟ 0 ⎢ ℓn ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎜⎝ ⎟ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ (+∞)⋅0 ⎝ x ⎠⎟ 0 ⎢⎣ x 2 ⎟⎠ ⎥⎥⎦ α = ℓ im ⎢⎢ x ⋅ ℓn ⎜⎜⎜1 + 2 ⎟⎟⎟ ⎥⎥ = ℓ im = ℓ im = x→ +∞ ⎢⎣ ⎝ x ⎟⎠ ⎥⎦ x→ +∞ 1 x→ +∞ ⎛ 1 ⎞⎟′ ⎜⎜ ⎟ x ⎜⎝ x ⎟⎟⎠ 1 1 ⋅ (1 + x−2 )′ ⋅ (−2x−3 ) 1 2 x +1 x2 −2 1+ 2 ⋅ 3 = ℓ im x2 = ℓ im x2 = ℓ im x + 1 x = x→ +∞ 1 x→ +∞ 1 x→ +∞ 1 − 2 − 2 − x x x2 2x 2x 2 = ℓ im = ℓ im 2 = ℓ im = 0 . x→ +∞ 2 x +1 x→ +∞ x x→ +∞ x Τελικά είναι ℓ = e0 = 1 . Δεύτερος τρόπος (προτεινόμενος) Είναι x 1 ⎟⎟ ⎛ ⎞x 1 ⎟⎟ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞⎟ 1 +∞ ℓn⎜⎜⎜1+ ⎟ x ⋅ℓn⎜⎜⎜1+ ⎟ ⎜ ℓ = ℓ im ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = ℓ im e ⎝⎜ x2 ⎟⎠ = ℓ im e ⎝⎜ x2 ⎟⎠ . x→ +∞ ⎝ x ⎠⎟ x→ +∞ x→ +∞ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 1 1 Στο α = ℓ im ⎢⎢ x ⋅ ℓn ⎜⎜⎜1 + 2 ⎟⎟⎟ ⎥⎥ θέτω = y . Τότε είναι x = . x→ +∞ ⎣⎢ ⎝ x ⎠⎟ ⎦⎥ x y Όταν x → +∞ , τότε y → 0+ , οπότε 1 ⎡ ℓn(1 + y2 )⎤ ′ 0 ⋅ (1 + y2 )′ ⎡1 ⎤ (+∞)⋅0 ℓn(1 + y ) 2 2 ⎦⎥ = ℓ im 1 + y 0 ⎢ α = ℓ im+ ⎢ ⋅ ℓn(1 + y2 )⎥ = ℓ im+ = ℓ i…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα