Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 13

Λυμένο παράδειγμα 38 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 13». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: −∞+∞ ⎡ ⎛ ℓn(x 2 + 1) ⎞⎟⎟ ⎤⎥ ℓ = ℓ im ⎡⎢2x + ℓn(x 2 + 1)⎤⎥ = ℓ im ⎢⎢ x ⎜⎜⎜2 + ⎟⎟ ⎥ . x→−∞ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎜⎝ x ⎠ ⎥⎦ x→−∞ Είναι 1 ⎡ ℓn(x 2 + 1)⎤ ′ +∞ 2 ⋅ (x 2 + 1)′ ℓn(x + 1) −∞ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 2x 2x ℓ im = ℓ im = ℓ im x + 1 = ℓ im 2 = ℓ im 2 = x→−∞ x x→−∞ (x)′ x→−∞ 1 x→−∞ x + 1 x→−∞ x 2 = ℓ im =0. x→−∞ x Επομένως είναι ℓ = (−∞) ⋅ (2 + 0) ⇒ ℓ = −∞ . - 194 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 3η ΕΝΟΤΗΤΑ. Κανόνες του de l’ Hospital

Λυμένο παράδειγμα 39 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 13». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: +∞−∞ ⎡ ⎛ ⎞⎤ x→ +∞ ( ℓ = ℓ im ℓnx − e 2x ) = ℓ im ⎢⎢ e ⎜⎜⎜⎝ ℓnx x→ +∞ e − 1⎟⎟⎟ ⎥⎥ . 2x ⎟⎠ 2x ⎣⎢ ⎦⎥ Είναι +∞ 1 1 ℓnx +∞ (ℓnx)′ 1 ℓ im = ℓ im 2x = ℓ im 2x x = ℓ im x2x = ℓ im = 0. x→ +∞ e2x x→ +∞ (e )′ x→ +∞ e ⋅ (2x)′ x→ +∞ 2e x→ +∞ 2xe2x Επομένως, ℓ = (+∞) ⋅ (0 − 1) ⇒ ℓ = −∞ . ΠΡΟΣΟΧΗ ! Στην περίπτωση που μέσα υπάρχει λογάριθμος, η τεχνική που αναπτύχθηκε στο κεφά- λαιο των ορίων και τα λογαριθμικά όρια στο άπειρο ειδικότερα μπορεί να αποδειχθεί σωτήρια. Αυτή προτρέπει να δημιουργήσουμε/αποκτήσουμε έναν μόνο λογάριθμο μέσα στο όριο, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογάριθμων. Οι ιδιότητες που συνήθως χρειάζονται είναι οι α ℓnα − ℓnβ = ℓn και x = ℓne x . β Μην ξεχνάς! Οι κανόνες του de l’ Hospital δεν είναι «το φάρμακο διά πάσαν νόσον» και οι τεχνικές που είδες στο κεφάλαιο των ορίων δεν αχρηστεύονται! Το ακόλουθο παράδειγμα το αποδεικνύει, αφού στηρίζεται στην μέθοδο που είδες στο κεφάλαιο των ορίων.

Λυμένο παράδειγμα 40 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 13». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: +∞−∞ ⎛ x 3 + 1 ⎞⎟ ℓ = ℓ im ⎡⎢ ℓn(x 3 + 1) − ℓn(x 2 + 1)⎤⎥ = ℓ im ⎜⎜⎜ℓn 2 ⎟⎟ . x→ +∞ ⎣ ⎦ ⎝ x + 1 ⎟⎠ x→ +∞ ⎜ Είναι x3 + 1 x3 α = ℓ im = ℓ im = ℓ im x = +∞ , x→ +∞ x 2 + 1 x→ +∞ x2 x→ +∞ οπότε ℓ = ℓ im (ℓnα) = +∞ . α→ +∞ - 195 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

166. ℓ = ℓ im .

167. ℓ = ℓ im (x − ℓnx) = ℓ im ⎢⎢ x ⎜⎜⎜1 − ⎟⎟ .

168. ℓ = ℓ im e x − x − x 2 ) = ℓ im ⎢⎢ x 2 ⎜⎜⎜ 2 − − 1⎟⎟⎟ ⎥⎥ .

169. ℓ = ℓ im x − 2ℓnx 2

170. ℓ = ℓ im ⎡⎢ ℓn(e x + 1) − x ⎤⎥ = ℓ im ⎡⎢ ℓn(e x + 1) − ℓne x ⎤⎥ = ℓ im ⎜⎜⎜ℓn ⎟⎟ .

171. ℓ = ℓ im x − e ( 2 x

172. ℓ = ℓ im ℓnx − x 2 + x + 1 ) = ℓ im ⎢⎢ x 2 ⎜⎜⎜ 2 − 1 +

173. ℓ = ℓ im e − x

174. ℓ = ℓ im e2x − x 2 + 3x − 1 ) = ℓ im ⎢⎢ x 2 ⎜⎜⎜ 2 − 1 + − 2 ⎟⎟⎟ ⎥⎥ .

175. ℓ = ℓ im x 2 + 1 − 3x ) = ℓ im ⎢⎢ x 2 ⎜⎜⎜1 + 2 − 2 ⎟⎟⎟ ⎥⎥ .

176. ℓ = ℓ im ⎡⎢ x 2 − ℓn(x 2 + e x )⎤⎥ x2 2

177. ℓ = ℓ im ⎡⎢ x − ℓn(1 + 2e x )⎤⎥ ⎡ x x ⎤ ⎜

178. ℓ = ℓ im e − ℓnx 2x

179. ℓ = ℓ im ⎡⎢ ℓn(e x + x) − x ⎤⎥ = ℓ im ⎡⎢ ℓn(e x + x) − ℓne x ⎤⎥ = ℓ im ⎜⎜⎜ℓn ⎟⎟ .

180. ℓ = ℓ im ⎡⎢ ℓn(e x + 1) − x + 2⎤⎥ = ℓ im ⎡⎢ ℓn(e x + 1) − (x − 2)⎤⎥ =