Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης – Κατηγορία 28

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 + αx 2 + βx + 5 . Να βρεθούν οι τιμές των α , β ∈ ! , ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο A(1, 8) να: α. σχηματίζει γωνία 135o με τον άξονα x΄x. β. είναι παράλληλη στην ευθεία ε : 3x − y + 2 = 0 . γ. είναι κάθετη στην ευθεία ζ : x − 5y + 15 = 0 . δ. διέρχεται από το σημείο Δ(4 , 2) . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

2x 2 − 3αx + β Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . Να βρεθούν οι τιμές των α , β ∈ ! , ώστε x2 + x + 1 η C f να διέρχεται από το σημείο A(2 ,− 1) και η εφαπτομένη της C f στο σημείο B (−1, f(−1)) να είναι κάθετη στην ευθεία x − 5y + 10 = 0 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

α ⋅ συνx + x Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . Να βρεθεί ο α ∈ ! , ώστε η κλίση της εφα- x ⎛ 3π ⎞⎟ 2 πτομένης της C f στο σημείο Α ⎜⎜⎜ ,1⎟⎟ να είναι ίση με . ⎝ 2 ⎠ ⎟ π

Δίνεται η συνάρτηση ⎧⎪ 2 ⎪⎪ αx + β , αν x < 2 f(x) = ⎪⎨ γ . ⎪⎪ , αν x ≥ 2 ⎪⎩⎪ x Να βρεθούν οι τιμές των α , β , γ ∈ ! , ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο A (2 , f(2)) να είναι παράλληλη στην ευθεία ε : 2x − y − 3 = 0 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x + α)e x . α. Να βρείτε την τιμή του α ∈ ! , ώστε να υπάρχει εφαπτομένη της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β. Για ποια τιμή του α ∈ ! η εφαπτομένη που διέρχεται από την αρχή των αξόνων είναι μοναδική; Στην περίπτωση αυτή, να βρείτε το σημείο επαφής.

Έστω f : ! → ! παραγωγίσιμη συνάρτηση, για την οποία ισχύει f(xe x ) = α + βe x , για κάθε x ∈ ! , α , β ∈ ! , β ≠ 0 . α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη 0. β. Για ποια τιμή του β η παραπάνω εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο Α(β , α) ;

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx 3 + βx 2 + 9x − 2 . Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε η εφαπτο- μένη της C f στο σημείο της M(2 ,− 10) να είναι κάθετη στην ευθεία ε : x − 3y + 1 = 0 .

Να βρεθεί ο α ∈ ! , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 1 f(x) = (αx − x 3 ) σε ένα κοινό σημείο της f με τον x΄x, να σχηματίζει γωνία 45o με 9 τον άξονα αυτόν.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ⎛ π⎤ Έστω f(x) = κx 2 + λ , g(x) = ℓn (2ηµx) . Αν x 0 ∈ ⎜⎜⎜0 , ⎥ , να βρεθούν τα κ, λ, ώστε οι f, g ⎝ 2 ⎥⎦ να τέμνονται στο Α (x 0 , 0) και οι εφαπτομένες των f, g στο Α να ταυτίζονται.

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) = x 2 − 5αx + 4α 2 , α ∈ ! * . Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες οι εφαπτόμενες της C f στα σημεία που τέμνει τον άξονα x΄x, είναι κάθετες μεταξύ τους.

Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) = e x + λe−x + µ , με λ , µ ∈ ! . Να βρείτε τις ⎛ λ⎞ τιμές των λ, μ, ώστε το σημείο Μ ⎜⎜⎜ℓn2 , ⎟⎟⎟ να ανήκει στην C f και η κλίση της σε αυτό ⎝ 2 ⎟⎠ 1 να ισούται με − . 2