Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης – Κατηγορία 20

Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) f(x) = ℓn x 2 + 1 , στο σημείο της με τετμημένη 1. Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , η οποία έχει την ιδιότητα 3x − 2 ≤ f(x) ≤ 2x 2 − 5x + 6 , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της A (2 , f(2)) . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 1 f(x) = στο σημείο x 0 = e2 . ℓnx + 6

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = 5x στο σημείο x 0 = −1 .

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = 2 x + 1 στο σημείο x 0 = 2 .

Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 1, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 1 και ισχύει f(x) = x − 1 ⋅g(x) , για κάθε x ∈ ! . α. Να βρεθεί η τιμή g(1) και η παράγωγος της f στο 1. β. Γράψτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη 1.

f(x) + x 2 Έστω συνάρτηση f, συνεχής στο 2, και ℓ im = 3 . Τότε: x→ 2 x −2 α. υπολογίστε το f(2). β. να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 2 . γ. να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της f στο x0 = 2 . δ. βρείτε την γωνία που σχηματίζει η ευθεία (ε) του προηγούμενου ερωτήματος, με τον άξονα x΄x.

Έστω συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ! , για την οποία ισχύει f(ℓnx) = x ℓnx − x , για κάθε x > 0 . α. Να βρείτε το f(0) και f(1). β. Να δείξετε ότι f ′(0) = 0 και f ′(1) = e . γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στα σημεία με τετμημένες 0 και 1. δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου, το οποίο σχηματίζεται από την εφαπτο- μένη της C f στο x 0 = 1 και τους άξονες x΄x και y΄y.

Αν f(x) = x 3 − 16x , να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C f στα σημεία τομής της C f με τον άξονα x΄x.

( ) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ℓn 2 + e2x . Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο της με τεταγμένη y 0 = ℓn3 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 2 Έστω η συνάρτηση f(x) = x , x > 0 . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο x 1 x 0 = 1 σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε = . 4

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! , με f(x + συνx) = e x + e2x , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f στο σημείο A (1, f(1)) , με τους άξονες.

Η συνάρτηση f : ! → ! είναι παραγωγίσιμη, με f(x 3 + 2x) = x , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο M (3 , f(3)) .

f(x) − x Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 = 1 και ℓ im = −2 . Να βρεθεί η εξίσωση x→1 x −1 της εφαπτομένης, αν υπάρχει, της C f στο σημείο A (1, f(1)) .

Έστω f , g : ! → ! παραγωγίσιμες συναρτήσεις, με f 2 (x) − g 3 (x) = x 2 + 2 , για κάθε x ∈ ! , και f(1) = −2 , f ′(1) = 4 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των C f , C g στα σημεία τους A (1, f(1)) και B (1, g(1)) αντίστοιχα.

Δίνεται παραγωγίσιμη στο ! συνάρτηση f, για την οποία ισχύουν: • η C f δεν διέρχεται από το σημείο A(1,1) . • f 2 (x) − x 2f(x) = −x 2 + 1 , για κάθε x ∈ ! . Να βρεθεί η εφαπτομένη της C f στο σημείο με τετμημένη x 0 = 1 .

Έστω f : ! → ! παραγωγίσιμη συνάρτηση, με f(xe x ) = 2e x , x ∈ ! . α. Να βρείτε τον αριθμό f ′(0) . β. Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο της A (0 , f(0)) .

Να εξετάσετε αν υπάρχει εφαπτομένη της C f στο σημείο Α (x 0 , f(x 0 )) , όταν f(x) = x − 2 , x0 = 2 .

Έστω f : ! → ! συνάρτηση, για την οποία ισχύει f(ℓnx) = xℓnx − x , για κάθε x > 0 . α. Να βρεθεί ο τύπος της f. β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο A (1, f(1)) .