Ε2-Π1-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 52 από «Ε2-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι ℓ im(ℓnx + 2x 2 − 1) = ℓn1 + 2 ⋅12 − 1 = 0 + 2 − 1 = 1 . x→1

Λυμένο παράδειγμα 53 από «Ε2-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι ℓ im(x 2ℓnx) = 22 ℓn2 = 4ℓn2 . x→ 2

Λυμένο παράδειγμα 54 από «Ε2-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: e x − 3x e−3 − 3 ⋅ (−3) e−3 + 9 Είναι ℓ im = = . x→−3 x 2 + 1 (−3)2 + 1 10 - 247 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

Λυμένο παράδειγμα 55 από «Ε2-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 2 1 31 31 Είναι ℓ im 4x − = 4 ⋅ (−4) − = −16 + = − = . x→−4 x −4 2 2 2

Λυμένο παράδειγμα 56 από «Ε2-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι ℓ im 4 − x 2 + 2x = 4 − 12 + 2 ⋅1 = 5 . x→1

Λυμένο παράδειγμα 57 από «Ε2-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x 2 − 3x + 4 02 − 3 ⋅ 0 + 4 Είναι ℓ im = =4. x→ 0 x 2 + 5x + 1 02 + 5 ⋅ 0 + 1

Λυμένο παράδειγμα 58 από «Ε2-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎛ ⎞⎟ π ⎜⎜ ⎟⎟ συν ⎜ συνx ⎟⎟ π 2 = 1+ 0 = 1. Είναι ℓ im ⎜⎜ηµx + ⎟⎟ = ηµ + x→ π/2 ⎜ π 2 π π π ⎜⎜ ⎜⎝ x + ⎟⎟⎟ + 2⎠ 2 2

Λυμένο παράδειγμα 59 από «Ε2-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι ℓ im ⎡⎢ ℓn(2 − x + e x )⎤⎥ = ℓn(2 − 0 + e0 ) = ℓn3 . x→ 0 ⎣ ⎦

Λυμένο παράδειγμα 60 από «Ε2-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 x2 − 4 0 (x − 2) (x + 2) ℓ im = ℓ im = ℓ im(x + 2) = 2 + 2 = 4 . x→ 2 x − 2 x→ 2 x −2 x→ 2

Λυμένο παράδειγμα 61 από «Ε2-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 3x2 + x − 4 0 (x − 1) (3x + 4) 3x + 4 3 ⋅1 + 4 7 ℓ im 2 = ℓ im = ℓ im = = . x −1 x→1 x + 1 1+1 2 x→1 x→1 (x − 1) (x + 1) Ο αριθμητής παραγοντοποιήθηκε με το σχήμα του Horner. - 250 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

Λυμένο παράδειγμα 62 από «Ε2-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎛ ⎞ ⎜⎜x − 3 ⎟⎟ (2x + 2) 3 0 +2 2⋅ 2 2x − x − 3 0 ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2x + 2 2 ℓ im = ℓ im = ℓ im = =5. x→ 3/2 2x 2 − 5x + 3 x→ 3/2 ⎛ ⎞⎟ x→ 3/2 2x − 2 3 3 ⎜⎜x − ⎟ (2x − 2) 2 ⋅ −2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠⎟ 2 Αριθμητής και παρονομαστής παραγοντοποιήθηκαν με το σχήμα του Horner.

Λυμένο παράδειγμα 63 από «Ε2-Π1-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 x 3 − 2x 2 + 4x − 8 0 x 2 (x − 2) + 4(x − 2) (x − 2) (x 2 + 4) ℓ im 3 = ℓ im = ℓ im = x→ 2 x − x2 − x − 2 x→ 2 (x − 2)(x 2 + x + 1) x→ 2 (x − 2) (x 2 + x + 1) x2 + 4 22 + 4 8 = ℓ im 2 = 2 = . x→ 2 x + x + 1 2 +2+1 7 Ο αριθμητής παραγοντοποιήθηκε με ομαδοποίηση, ενώ ο παρονομαστής με το σχήμα του Horner. Σχόλιο Στο κεφάλαιο «Διαφορικός Λογισμός» θα δεις και άλλον τρόπο υπολογισμού ορίου που εμφανίζει αυτήν την απροσδιοριστία και έχει ρητή συνάρτηση. Κρίσιμη παρατήρηση για τις ασκήσεις! Τα όρια αυτά δεν εμφανίζουν δυσκολία και μπορούν να υπολογιστούν γρήγορα και ξεκούραστα, αρκεί κανείς να ξέρει παραγοντοποίηση. Ειδικά στην περίπτωση που υπάρχει τριώνυμο στην πλήρη του μορφή, το σχήμα Horner μπορεί να το παραγο- ντοποιήσει σε χρόνο μηδέν! Αν και το σχήμα Horner μπορεί να αποδειχθεί αργός βοηθός για την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου (θυμήσου, πρέπει να «πετύχεις» μια ακέραιη ρίζα του πολυωνύμου, αν βέβαια έχει, μετά από κάποιες δοκιμές), στην περίπτωση που το όριο εμφανίζει την απροσδιοριστία 0 διά 0 βοηθάει στην γρήγορη παραγοντοποίηση. Πώς; Στα παραδείγματα που προηγήθηκαν, ανέφερα ότι έγιναν κάποιες παραγοντοποιήσεις με το σχήμα Horner (στο πρόχειρο βέβαια). Πώς βρήκα τον αριθμό με τον οποίο θα έκανα το σχήμα Horner; Ήταν μπροστά στα μάτια μου και με υπόδειξη από το ίδιο το όριο μάλιστα! - 251 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0” Ας πούμε για το παράδειγμα 61. Δεν έθεσα x = 1 και προέκυψε 0 διά 0; Δηλαδή, το 1 δεν μηδένισε το τριώνυμο του αριθμητή; Άρα το 1 είναι μία ρίζα του, οπότε στο πρό- χειρο έκανα το σχήμα Horner με το 1. Ας πούμε για το παράδειγμα 62, στο οποίο δεν θα δούλευε το σχήμα Horner, αν ακο- 3 λουθούσα την γνωστή μέθ

0 x −4 0 x −4 1 1 1 ℓ im = ℓ im = ℓ im = = . x→ 4 2 x − x − 12 x→ 4 (x − 4) (x + 3) x→ 4 x+3 4+3 7 Ο παρονομαστής παραγοντοποιήθηκε με το σχήμα Horner για x = 4 .

0 2 3x − 27 3(x 2 − 9) 0 3 (x − 3) (x + 3) 3 3 ℓ im = ℓ im = ⋅ ℓ im = ⋅ ℓ im(x + 3) = ⋅ (3 + 3) = 9 . x→ 3 2x − 6 x→ 3 2(x − 3) 2 x→ 3 2 x→ 3 2 x −3 Ο αριθμητής παραγοντοποιήθηκε με την γνωστή ταυτότητα «διαφορά τετραγώνων», ενώ ο παρονομαστής με κοινό παράγοντα.

0 x2 − 4 0 (x − 2) (x + 2) x+2 2+2 ℓ im 2 = ℓ im = ℓ im = = −4 . x→ 2 x − 5x + 6 x→ 2 x − 3 2−3 x→ 2 (x − 2) (x − 3) Ο αριθμητής παραγοντοποιήθηκε με την γνωστή ταυτότητα «διαφορά τετραγώνων», ενώ ο παρονομαστής με το σχήμα Horner.

0 2 x + 5x + 4 (x + 1) (x + 4) 0 x+4 −1 + 4 3 ℓ im = ℓ im = ℓ im = = . 2 x→−1 x + 7x + 6 x→−1 x + 6 −1 + 6 5 x→−1 (x + 1) (x + 6) Αριθμητής και παρονομαστής παραγοντοποιήθηκαν με το σχήμα Horner.

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 ⎜⎜x − 1 ⎟⎟ (2x + 2) ⎜⎜x − 1 ⎟⎟ ⋅ 2(x + 1) 2 2x + x − 1 0 ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→1/2 8x 2 − 2 x→1/2 2(4x 2 − 1) x→1/2 2(2x − 1)(2x + 1) 1 3 +1 (2x − 1) (x + 1) x +1 2 3 = ℓ im = ℓ im = = 2 = . x→1/2 2 (2x − 1) (2x + 1) x→1/2 2(2x + 1) ⎛ 1 ⎞ 4 8 2 ⎜⎜⎜ 2 ⋅ + 1⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠ - 254 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

0 3 x − 27 0 (x − 3) (x 2 + 3x + 9) x 2 + 3x + 9 32 + 3 ⋅ 3 + 9 27 9 ℓ im 2 = ℓ im = ℓ im = = = . x→ 3 x − 9 x→ 3 (x − 3) (x + 3) x→ 3 x+3 3+3 6 2 Ο αριθμητής παραγοντοποιήθηκε με την ταυτότητα α 3 − β3 = (α − β)(α 2 + αβ + β2 ) .

0 x 3 + 27 0 (x + 3) (x 2 − 3x + 9) x 2 − 3x + 9 (−3)2 − 3 ⋅ (−3) + 9 ℓ im 2 = ℓ im = ℓ im = = x→−3 2x + 7x + 3 x→−3 (x + 3) (2x + 1) x→−3 2x + 1 2 ⋅ (−3) + 1 27 =− . 5 Ο αριθμητής παραγοντοποιήθηκε με την ταυτότητα α 3 + β3 = (α + β)(α 2 − αβ + β2 ) .

0 3 (x + 4) − 27 (x + 4 − 3) ⎡⎢(x + 4)2 + 3(x + 4) + 9⎤⎥ 0 ℓ im = ℓ im ⎣ ⎦ = x→−1 (x + 6)2 − 25 x→−1 (x + 6 − 5)(x + 6 + 5) (x + 1) (x 2 + 16 + 8x + 3x + 12 + 9) x 2 + 11x + 37 = ℓ im = ℓ im = x→−1 (x + 1) (x + 11) x→−1 x + 11 (−1)2 + 11 ⋅ (−1) + 37 27 = = . −1 + 11 10 Ο αριθμητής παραγοντοποιήθηκε με την ταυτότητα της άσκησης 136, για α = x + 4 και β = 3 , ενώ ο παρονομαστής ως διαφορά τετραγώνων.

2 0 x+2 1+ 0 x = ℓ im x x+2 x (x + 2) ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→−2 8 2 x→−2 2x − 8 x→−2 2(x 2 − 4) x→−2 2 (x + 2) (x − 2) 2− 2 x x2 x x −2 −1 1 = ℓ im = = = . x→−2 2(x − 2) −4 4 2 (−2 − 2) - 255 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0”

0 ⎛ x2 3x ⎞⎟⎟ ⎛ x2 3x ⎞⎟⎟ x 2 + 3x 0 x (x + 3) ⎜ − 2 ⎜ ℓ im ⎜⎜ x→−3 ⎜ 9 − x 2 ⎟⎟ = ℓx→−3 im ⎜⎜ + 2⎟ ⎟ = ℓ im = ℓ im = ⎝⎜ 9 − x 2 2 ⎝ x − 9⎠ 9−x ⎠ x→−3 9−x x→−3 (3 + x) (3 − x) x −3 −3 1 = ℓ im = = =− . x→−3 3 − x 3 − (−3) 6 2

⎛ x − 20 2 ⎞⎟ ⎡ x − 20 2 ⎤⎥ x − 20 + 2(x + 4) ℓ im ⎜⎜⎜ 2 + ⎟⎟ = ℓ im ⎢ + = ℓ im = x→ 4 x − 16 x − 4 ⎟⎠ x→ 4 ⎢ (x − 4)(x + 4) x − 4 ⎥ (x − 4)(x + 4) ⎝ ⎣ ⎦ x→ 4 0 x − 20 + 2x + 8 3x − 12 0 3 (x − 4) 3 = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ 4 (x − 4)(x + 4) x→ 4 (x − 4)(x + 4) x→ 4 x + 4 x→ 4 (x − 4) (x + 4) 3 3 = = . 4+4 8

0 2 4 x −4 (x 2 − 2) (x 2 + 2) 0 x2 + 2 2 +2 4 ℓ im 2 = ℓ im = ℓ im = = . x→ 2 3x − 6 x→ 2 3 (x 2 − 2) x→ 2 3 3 3