Διανύσματα

Λυμένο παράδειγμα 1 από «Διανύσματα». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν ΑΒΓ είναι ισοσκελές τρίγωνο, τότε από την Γεωμετρία γνωρίζεις ότι έχει δύο πλευ- ρές ίσες (ας πούμε ότι ισχύει ΑΒ = ΑΓ). !!!" !!!" Όμως, στα διανύσματα είναι λάθος να γράψεις ότι ισχύει ΑΒ = ΑΓ !

Λυμένο παράδειγμα 2 από «Διανύσματα». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, με ΑΒ//ΓΔ, τότε από την Γεωμετρία γνωρίζεις ότι ισχύει και ΑΒ = ΓΔ. !!!" !!!" Όμως, στα διανύσματα είναι λάθος να γράψεις ότι ισχύει ΑΒ = ΓΔ !

Λυμένο παράδειγμα 3 από «Διανύσματα». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α τρίγωνο και ΑΜ είναι η διάμεσός του, τότε από την ΒΓ Γεωμετρία γνωρίζεις ότι ισχύει ΑΜ = . 2 !!" !!!" ΒΓ Όμως, στα διανύσματα είναι λάθος να γράψεις ότι ισχύει ΑΜ = ! 2 Oρισµός Το µηδενικό διάνυσµα Μηδενικό διάνυσμα λέγεται το διάνυσμα του οποίου η αρχή και το πέρας συμπί- πτουν. ! Το μηδενικό διάνυσμα συμβολίζεται με 0 . Παρατήρηση στον ορισµό του µηδενικού διανύσµατος Ο ορισμός αυτός μπορεί να αξιοποιηθεί αν σε κάποια άσκηση ζητείται να δείξεις ότι δύο σημεία ταυτίζονται. Αυτός είναι ένας τρόπος, διότι οι συντεταγμένες (με τις οποίες κατά βάση θα δουλεύ- εις στις ασκήσεις) παρέχουν έναν ακόμη τρόπο (τον οποίο κατά κόρον θα χρησιμοποι- είς). -3 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 4 από «Διανύσματα». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας πάρουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με βάση ΒΓ, και ας φέρουμε και το ύψος του ΑΔ. • Από την Γεωμετρία είναι γνωστό ότι ισχύει ΑΒ = ΑΓ, αλλά είναι !!!" !!!" λάθος να γράψεις ότι ισχύει και ΑΒ = ΑΓ , διότι τα δύο διανύσματα δεν είναι παράλληλα (που είναι το πρώτο που απαιτείται για την ισότητα δύο διανυσμάτων). !!!" !!!" Το σωστό είναι να γράψεις ότι ισχύει ΑΒ = ΓΔ . Η ισότητα ΑΒ = ΑΓ αναφέρεται σε ισότητα μηκών και τα μέτρα των διανυσμάτων είναι τα μήκη τους. • Από την Γεωμετρία είναι γνωστό ότι ισχύει ΒΔ = ΓΔ, αλλά είναι λάθος να γράψεις !!!" !!!" ότι ισχύει και ΒΔ = ΓΔ , διότι τα δύο διανύσματα είναι μεν στην ίδια ευθεία, έχουν μεν το ίδιο μήκος, αλλά δεν «κοιτάζουν» προς την ίδια μεριά! !!!" !!!" !!!" !!!" Το σωστό είναι να γράψεις ότι ισχύει ΒΔ = −ΓΔ ή ΒΔ = ΔΓ . !!!" !!!" Επίσης σωστό είναι να γράψεις ότι ισχύει ΒΔ = ΓΔ .

Λυμένο παράδειγμα 5 από «Διανύσματα». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας πάρουμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με ΑΒ // ΓΔ. • Από την Γεωμετρία είναι γνωστό ότι ισχύει ΑΒ = ΓΔ, !!!" !!!" αλλά είναι λάθος να γράψεις ότι ισχύει και ΑΒ = ΓΔ , διότι τα δύο διανύσματα είναι μεν σε παράλληλες ευθείες, έχουν μεν το ίδιο μήκος, αλλά δεν «κοιτάζουν» προς την ίδια μεριά! - 16 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μα θη μα τ ι κά Π ρ ο σανα τολ ι σ μ ού Β ΄Λ υκε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Δ ι α ν ύσμ α τα ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Η έννοια του διανύσµατος !!!" !!!" Το σωστό είναι να γράψεις ότι ισχύει ΑΒ = ΔΓ . !!!" !!" !!!" !!!" Σωστά είναι και τα εξής: ΑΔ = ΒΓ , ΓΔ = ΒΑ . !!!" !!!" Επίσης σωστό είναι να γράψεις ότι ισχύει ΑΒ = ΓΔ , διότι τα διανύσματα έχουν το ίδιο μήκος (οπότε δεν ενδιαφέρει το πού «κοιτάζουν»). • Αν το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο, τότε από την Γεωμετρία είναι γνωστό ότι ΑΓ = ΒΔ, !!!" !!!" αλλά είναι λάθος να γράψεις ότι ισχύει ΑΓ = ΒΔ , διότι τα δύο διανύσματα δεν είναι καν στην ίδια ή σε παράλληλες ευθείες! !!!" !!!" Το σωστό είναι να γράψεις ότι ισχύει ΑΓ = ΒΔ .

Λυμένο παράδειγμα 6 από «Διανύσματα». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∧ Ας πάρουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90ο ) και την διάμεσό του ΑΔ. ΒΓ • Από την Γεωμετρία είναι γνωστό ότι ισχύει ΑΔ = , αλλά 2 !!" !!!" ΒΓ είναι λάθος να γράψεις ότι ισχύει ΑΔ = , διότι τα δύο 2 διανύσματα δεν είναι καν στην ίδια ή σε παράλληλες ευθείες! !!" !!!" ΒΓ Το σωστό είναι να γράψεις ότι ισχύει ΑΔ = . 2 • Από την Γεωμετρία είναι γνωστό ότι ισχύει ΒΔ = ΓΔ, αλλά είναι λάθος να γράψεις !!!" !!!" ότι ισχύει ΒΔ = ΓΔ , διότι τα δύο διανύσματα είναι μεν στην ίδια ευθεία, έχουν μεν το ίδιο μήκος, αλλά δεν «κοιτάζουν» προς την ίδια μεριά! !!!" !!!" Το σωστό είναι να γράψεις ότι ισχύει ΒΔ = ΔΓ . !!!" !!!" Επίσης σωστό είναι να γράψεις ότι ισχύει ΒΔ = ΓΔ , αφού η πρόταση της Γεω- μετρίας αφορά στα μήκη ευθύγραμμων τμημάτων και τα μέτρα των διανυσμάτων είναι ακριβώς αυτό! - 17 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε διανύσματα ίσα με: !!!" !!" !!" !!!" !!!" !!" !!!" α) ΑΒ + ΒΓ . β) ΒΓ − ΔΓ . γ) ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ . !!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" δ) ΓΒ − ΓΔ . ε) ΑΒ + ΔΑ + ΓΔ . στ) ΑΔ − ΑΓ + ΔΓ .

Έστω Μ εσωτερικό σημείο παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Να δείξετε ότι !!!" !!!" !!!" !!!" " ΜΑ + ΜΓ + ΒΜ + ΔΜ = 0 .

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε σημείο του επιπέδου τέτοιο, ώστε να ισχύει !!!" !!!" !!" !!!" !!!" !!!" ΑΕ = ΑΓ + ΒΓ . Να δείξετε ότι ΔΕ = ΑΒ + ΑΔ .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω τα μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ, Δ. Να δείξετε ότι, αν υπάρχει σημείο Ρ τέ- !!!" !!" !!" !!!" τοιο, ώστε ΡΑ + ΡΓ = ΡΒ + ΡΔ , τότε το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

!!!" !!" !!!" !!" Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε ισχύει η σχέση ΑΒ + ΓΑ = ΔΒ + ΓΕ , να δείξετε ότι τα Δ και Ε ταυτίζονται.

!" " " !" ! "! "! ! Δίνονται τα διανύσματα α , β , x , y , για τα οποία ισχύουν 2x + 4y + 3α = 0 και ! "! ! ! ! "! !" " 4x + 2y + 3β = 0 . Να βρείτε τα διανύσματα x , y συναρτήσει των α , β .

!!!" !!!" Θεωρούμε τρία σημεία Κ, Λ, Μ τέτοια, ώστε 4ΚΛ = 3ΛΜ . Να δείξετε ότι, για κάθε !!!" 4 !!!" 3 !!!" σημείο Ο, ισχύει ΟΛ = ΟΚ + ΟΜ . 7 7

!!!" !!!" Στην πλευρά ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημείο Μ τέτοιο, ώστε 2ΒΜ = 3ΜΓ . !!!" !!!" !!!" " Να δείξετε ότι 5ΑΜ − 2ΑΒ − 3ΑΓ = 0 .

!!!" !!!" !!!" Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Κ, Λ τέτοια, ώστε ΑΚ = 2ΑΒ + ΑΓ και !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" ΑΛ = 2ΑΒ − 3ΑΓ . Να αποδείξετε ότι ΚΛ = −4ΑΓ .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ, Ν τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ, ΒΔ αντίστοιχα. !!!" !!!" !!" !!!" !!!" Να δείξετε ότι 2ΜΝ = ΑΔ − ΒΓ = ΑΒ + ΓΔ .

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Μ το μέσο της ΑΔ. Να εκφράσετε τα δια- !!!" !!!" !!!" !" !!" " νύσματα ΒΜ και ΜΓ συναρτήσει των ΑΒ = α και ΒΓ = β .

!!!" !!" Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, Δ το μέσο της ΑΒ, Ε σημείο της ΑΓ τέτοιο, ώστε ΑΕ = 3ΕΓ και !!!" Ρ το μέσο του ΔΕ. Να εκφράσετε το ΑΡ ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων !!!" !!!" ΑΒ και ΑΓ .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε και Ζ της διαγωνίου ΑΓ τέτοια, 1 ώστε ΑΕ = ΖΓ = ΑΓ . 4 !!!" !!!" !!!" !" !!" " α. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΔΕ και ΔΖ συναρτήσει των ΑΒ = α και ΒΓ = β . β. Να αποδείξετε ότι το ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο.

!!!" !" !!!" !" !!!" !" !" !!!" !" !" Έστω ΟΑ = u , ΟΒ = v , ΟΓ = u + 3v , ΟΔ = 3u + v . Να εκφράσετε τα διανύσματα !!!" !!!" !!" !" !" !!!" !!!" !!!" ΑΓ , ΔΒ , ΒΓ συναρτήσει των u , v . Μετά, να δείξετε ότι ΑΓ + ΔΒ / / ΑΒ .

!!!" 2 !!!" 5 !!!" !!!" 5 !!!" 2 !!!" Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ισχύουν ΑΔ = ΑΒ + ΑΓ και ΑΕ = ΑΒ + ΑΓ , να 3 6 6 3 !!!" !!" δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ , ΒΓ είναι αντίρροπα.

Λυμένο παράδειγμα 7 από «Διανύσματα». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν έχουμε το σημείο Α(−2 , 5) , τότε η διανυσματική του ακτίνα είναι το διάνυσμα !!!" ΟΑ = (−2 , 5) . !!!" Αντίστροφα, αν η διανυσματική ακτίνα του σημείου Α είναι ΟΑ = (−2 , 5) , τότε συμπε- ραίνουμε ότι είναι Α(−2 , 5) .

!" ( Να βρεθεί το κ ∈ ! , ώστε τα διανύσματα u = κ2 − 8κ + 22 , 6κ − 7 και ) !" v = (7 , 5κ − 2) να είναι ίσα.

!" ( Να βρεθεί το κ ∈ ! , ώστε το διάνυσμα α = κ2 − 5κ + 6 , κ − 2 να είναι το μηδενικό. )