Θεώρημα του Rolle – Κατηγορία 36

Δίνεται η συνάρτηση f : ⎡⎢1, 3⎤⎥ → ! , για την οποία ισχύουν f(1) = 0 , f(3) = 4 και ⎣ ⎦ f ′(x) ≠ 1 , για κάθε x ∈ ⎡⎢1, 3⎤⎥ . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x έχει μία μόνο ρίζα στο ⎣ ⎦ διάστημα (1, 3) .

Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = e3x + 3x 5 και g(x) = e−x − 5x 3 έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το οποίο βρίσκεται πάνω στον άξονα y΄y. Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2 + x + ℓnx = 2 έχει ακριβώς μία ρίζα στο (0 , + ∞) .

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 5 + αx 3 + 2ηµx + β = 0 , όπου α , β ∈ ! , α > 0 και ⎛ π⎞ −2 < β < 0 , έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα ⎜⎜⎜0 , ⎟⎟⎟ . ⎝ 2 ⎟⎠

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Έστω f : ⎡⎢−π , π⎤⎥ → ! συνάρτηση, με τύπο f(x) = x 2 − x ⋅ ηµx − συνx . Να δείξετε ότι ⎣ ⎦ η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο ακριβώς λύσεις στο διάστημα (−π , π) .

Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = e x + 2x και g(x) = e−x − x 3 έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το οποίο βρίσκεται στον y΄y.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να δείξετε ότι η εξίσωση x 5 + 3x − α = 0 , α ∈ ! , έχει μοναδική ρίζα στο ! .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αx 3 + βx 2 + γx + δ = 0 , με β2 < αγ και α ≠ 0 , έχει μονα- δική ρίζα στο ! .